Dérivation

Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse aa - Exercice 3

20 min
40
Pour les fonctions suivantes déterminer une équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse aa.
Question 1

f(x)=2x2+3x5 ;a=1f\left(x\right)=-2x^{2} +3x-5~; a=1

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer la dérivée de ff
f(x)=2×2x+3f'\left(x\right)=-2\times 2x+3
f(x)=4x+3f'\left(x\right)=-4x+3
2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(1)f\left(1\right)
f(1)=2×12+3×15f\left(1\right)=-2\times 1^{2} +3\times 1-5
f(1)=4f\left(1\right)=-4
3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(1)f'\left(1\right)
f(1)=4×1+3f'\left(1\right)=-4\times 1+3
f(1)=1f'\left(1\right)=-1
4\red{4}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
y=(1)×(x1)4y=\left(-1\right)\times \left(x-1\right)-4
y=x+14y=-x+1-4
y=x3y=-x-3

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11 est alors y=x3y=-x-3.
Question 2

f(x)=x3+3x5 ;a=2f\left(x\right)=-x^{3} +3x-5~; a=2

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=2a=2, ce qui donne, y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right).
1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer la dérivée de ff
f(x)=3×x2+3f'\left(x\right)=-3\times x^{2} +3
f(x)=3x2+3f'\left(x\right)=-3x^{2} +3
2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f\left(2\right)
f(2)=23+3×25f\left(2\right)=-2^{3} +3\times 2-5
f(2)=7f\left(2\right)=-7
3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f'\left(2\right)
f(2)=3×22+3f'\left(2\right)=-3\times 2^{2} +3
f(2)=9f'\left(2\right)=-9
4\red{4}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(2)f\left(2\right) et de f(2)f'\left(2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
y=9×(x2)7y=-9\times \left(x-2\right)-7
y=9x+187y=-9x+18-7
y=9x+11y=-9x+11

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 22 est alors y=9x+11y=-9x+11
Question 3

f(x)=(3x1)(2x+6) ;a=1f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(2x+6\right)~; a=-1

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=-1, on a alors y=f(1)(x(1))+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right) ce qui donne : y=f(1)(x+1)+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right).
1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer la dérivée de ff
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3x1u\left(x\right)=3x-1 et v(x)=2x+6v\left(x\right)=2x+6
Ainsi : u(x)=3u'\left(x\right)=3 et v(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f(x)=3×(2x+6)+(3x1)×2f'\left(x\right)=3\times \left(2x+6\right)+\left(3x-1\right)\times 2
f(x)=6x+18+6x2f'\left(x\right)=6x+18+6x-2
f(x)=12x+16f'\left(x\right)=12x+16
2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(1)f\left(-1\right)
f(1)=(3×(1)1)×(2×(1)+6)f\left(-1\right)=\left(3\times \left(-1\right)-1\right)\times \left(2\times \left(-1\right)+6\right)
f(1)=(31)×(2+6)f\left(-1\right)=\left(-3-1\right)\times \left(-2+6\right)
f(1)=(4)×4f\left(-1\right)=\left(-4\right)\times 4
f(1)=16f\left(-1\right)=-16
3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(1)f'\left(-1\right)
f(1)=12×(1)+16f'\left(-1\right)=12\times \left(-1\right)+16
f(1)=12+16f'\left(-1\right)=-12+16
f(1)=4f'\left(-1\right)=4
4\red{4}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(2)f\left(2\right) et de f(2)f'\left(2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(1)(x+1)+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
y=4×(x+1)16y=4\times \left(x+1\right)-16
y=4x+416y=4x+4-16
y=4x12y=4x-12

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 1-1 est alors y=4x12y=4x-12
Question 4

f(x)=5x2+2x1 ;a=0f\left(x\right)=-5x^{2} +2x-1~; a=0

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=0a=0, ce qui donne, y=f(0)(x0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right).
1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer la dérivée de ff
f(x)=5×2x+2f'\left(x\right)=-5\times 2x+2
f(x)=10x+2f'\left(x\right)=-10x+2
2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(0)f\left(0\right)
f(0)=5×02+2×01f\left(0\right)=-5\times 0^{2} +2\times 0-1
f(0)=1f\left(0\right)=-1
3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(0)f'\left(0\right)
f(0)=10×0+2f'\left(0\right)=-10\times 0+2
f(0)=2f'\left(0\right)=2
4\red{4}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(0)f\left(0\right) et de f(0)f'\left(0\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(0)(x0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
y=2×(x0)1y=2\times \left(x-0\right)-1
y=2x1y=2x-1

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 00 est alors y=2x1y=2x-1.
Question 5

f(x)=2x14x+3 ;a=2f\left(x\right)=\frac{2x-1}{4x+3}~; a=-2

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=2a=-2, ce qui donne, y=f(2)(x(2))+f(2)y=f'\left(-2\right)\left(x-\left(-2\right)\right)+f\left(-2\right) que l'on peut écrire y=f(2)(x+2)+f(2)y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)
1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer la dérivée de ff
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2x1u\left(x\right)=2x-1 et v(x)=4x+3v\left(x\right)=4x+3
Ainsi : u(x)=2u'\left(x\right)=2 et v(x)=4v'\left(x\right)=4.
Il vient alors que :
f(x)=2×(4x+3)(2x1)×4(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(4x+3\right)-\left(2x-1\right)\times 4}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=2×4x+2×3(2x×41×4)(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{2\times 4x+2\times 3-\left(2x\times 4-1\times 4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=8x+6(8x4)(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{8x+6-\left(8x-4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=8x+68x+4(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{8x+6-8x+4}{\left(4x+3\right)^{2} }
f(x)=10(4x+3)2f'\left(x\right)=\frac{10}{\left(4x+3\right)^{2} }
2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f\left(-2\right)
f(2)=2×(2)14×(2)+3f\left(-2\right)=\frac{2\times\left(-2\right)-1}{4\times\left(-2\right)+3}
f(2)=1f\left(-2\right)=1
3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f'\left(-2\right)
f(2)=10(4×(2)+3)2f'\left(-2\right)=\frac{10}{\left(4\times\left(-2\right)+3\right)^{2} }
f(2)=25f'\left(-2\right)=\frac{2}{5}
4\red{4}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(2)f\left(-2\right) et de f(2)f'\left(-2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(2)(x+2)+f(2)y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)
y=25×(x+2)+1y=\frac{2}{5}\times \left(x+2\right)+1
y=25x+45+1y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}+1
y=25x+95y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 2-2 est alors y=25x+95y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}.