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Sujet 1 - Exercice 2

15 min
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Question 1

Calculer le prix d'une veste payé 117117 euros après une remise de 10%10\% .

Correction
  • Valeur initiale=Valeur finalecoefficient multiplicateur\text{Valeur initiale}=\frac{\text{Valeur finale}}{\text{coefficient multiplicateur}}
  • Diminuer une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1−t1001-\frac{t}{100}
D'après l'énoncé, on déduit que :
  • La valeur finale vaut 117117
  • Le coefficient multiplicateur vaut 1−10100=0,91-\frac{10}{100}=0,9
Il en résulte donc que :
Valeur initiale=1170,9\text{Valeur initiale}=\frac{117}{0,9}
Valeur initiale=130\text{Valeur initiale}=130

Avant la diminution, le prix de la veste était de 130130 €.
Question 2

Une montre coûtant 8585 euros affiche une remise de 22%22\% . Combien coûte t-elle après la remise?

Correction
  • Valeur finale=Valeur initiale×coefficient multiplicateur\text{Valeur finale}=\text{Valeur initiale}\times\text{coefficient multiplicateur}
  • Diminuer une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1−t1001-\frac{t}{100}
D'après l'énoncé, on déduit que :
  • La valeur initiale vaut 8585
  • Le coefficient multiplicateur vaut 1−22100=0,781-\frac{22}{100}=0,78
Il en résulte donc que :
Valeur finale=85×0,78\text{Valeur finale}=85\times0,78
Valeur finale=66,3\text{Valeur finale}=66,3

la montre nous coûtera maintenant 66,366,3 euros.
Question 3

Entre 20182018 et 20192019, le nombre d'élèves d'un lycée est passé de 480480 élèves à 552552 élèves. Quel taux d'évolution en pourcentage cela représente-t-il?

Correction
    Soit V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur et V1V_{1} sa valeur finale suite à une évolution.
  • Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V1−V0V0\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }
  • En pourcentage, le taux d’évolution se note t%t\% avec t=V1−V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100
  • Si t>0t > 0, il s’agit d’une augmentation.
  • Si t<0t < 0, il s’agit d’une diminution.
  • La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 480480.
  • La valeur finale V1V_{1} vaut ici 552552.
Il vient alors que :
t=V1−V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100 équivaut successivement à :
t=552−480480×100t=\frac{552-480 }{480}\times100
t=15%t=15\%

Le taux d'évolution en pourcentage est une augmentation de 15%15\% des élèves entre l'année 20182018 et 20192019.
Question 4

Un prix augmente de 20%20\% puis connait une nouvelle augmentation de 25%25\% . L'augmentation globale est alors de 45%45\% .

Correction
  • Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Soit tt le taux global d'évolution recherché.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 20%20\% est : 1+20100=1,201+\frac{20}{100}=1,20
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 25%25\% est : 1+25100=1,251+\frac{25}{100}=1,25
    • Il en résulte donc que :
    1,20×1,25=1,51,20\times 1,25=1,5
    • taux d'évolution =(coefficient multiplicateur−1)×100=\left(\text{coefficient multiplicateur}-1\right)\times100
    Ici, le coefficient multiplicateur vaut 1,51,5.
    Ainsi :
    taux d'évolution =(1,5−1)×100=\left(1,5-1\right)\times100
    taux d'évolution =50%=50\%

    Le taux d’évolution global est de 50%50\% c'est à dire qu'une augmentation de 20%20\% suivi d'une deuxième de 25%25\% correspond à une augmentation globale de 50%50\%.
    Question 5

    Un prix augmente de 25%25\% . De combien, le prix, doit-il diminuer afin de revenir à sa valeur initiale?

    Correction
    • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
    • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
    • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
      1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
    Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une augmentation de 25%25\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 25%25\% est : 1+251001+\frac{25}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11+251001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{25}{100} }
    1+t′100=11+0,251+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,25 }
    1+t′100=11,251+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,25 }
    1+t′100=0,81+\frac{t'}{100} =0,8
    t′100=0,8−1\frac{t'}{100} =0,8-1
    t′100=−0,2\frac{t'}{100} =-0,2
    t′=−0,2×100t' =-0,2\times100
    t′=−20%t' =-20\%

    Si un prix augmente de 25%25\% alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de 20%20\%.