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Evolutions réciproques - Exercice 2

10 min
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Question 1

Le cours d’une action a baissé de 50%50\%. Quel doit être le taux d’augmentation pour que cette action retrouve son cours initial?

Correction
  • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
  • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
  • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
    1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une diminution de 50%50\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 20%20\% est : 1−501001-\frac{50}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11−501001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-\frac{50}{100} } . Ici nous faisons bien 1−501001-\frac{50}{100} au dénominateur car nous avons une baisse de 50%50\%.
    1+t′100=11−0,51+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-0,5 }
    1+t′100=10,51+\frac{t'}{100} =\frac{1}{0,5 }
    1+t′100=21+\frac{t'}{100} =2
    t′100=2−1\frac{t'}{100} =2-1
    t′100=1\frac{t'}{100} =1
    t′=1×100t' =1\times100
    t′=100%t' =100\%

    Le cours d’une action a baissé de 50%50\%, le taux d’augmentation pour que cette action retrouve son cours initial est alors une augmentation de 100%100\%.
    Question 2

    Le prix de vente d’un objet a augmenté de 15%15\% le 11er mars. Après le 11er mars, quelle réduction sur le prix de vente le vendeur doit accorder au client pour que le prix à payer redevienne le prix initial?

    Correction
    • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
    • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
    • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
      1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
    Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une augmentation de 15%15\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 15%15\% est : 1+151001+\frac{15}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11+151001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{15}{100} }
    1+t′100=11+0,151+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,15 }
    1+t′100=11,151+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,15 }
    1+t′100≈0,8691+\frac{t'}{100} \approx0,869
    t′100≈0,869−1\frac{t'}{100} \approx0,869-1
    t′100≈−0,131\frac{t'}{100} \approx-0,131
    t′≈−0,131×100t' \approx-0,131\times100
    t′≈−13,1%t' \approx-13,1\%

    Le taux d’évolution réciproque a une augmentation de 15%15\% est une baisse de 13,1%13,1\%.

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