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Evolutions réciproques - Exercice 1

10 min
25
Question 1

Un prix augmente de 60%60\%. Quel devra être le taux du pourcentage d'évolution réciproque pour que cette action retrouve son prix initial.

Correction
  • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
  • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
  • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
    1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une augmentation de 60%60\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 60%60\% est : 1+601001+\frac{60}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11+601001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{60}{100} }
    1+t′100=11+0,61+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,6 }
    1+t′100=11,61+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,6 }
    1+t′100=0,6251+\frac{t'}{100} =0,625
    t′100=0,625−1\frac{t'}{100} =0,625-1
    t′100=−0,375\frac{t'}{100} =-0,375
    t′=−0,375×100t' =-0,375\times100
    t′=−37,5%t' =-37,5\%

    Si un prix augmente de 60%60\% alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de 37,5%37,5\%.
    Question 2

    Un prix baisse de 20%20\%. Quel devra être le taux du pourcentage d'évolution réciproque pour que cette action retrouve son prix initial.

    Correction
    • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
    • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
    • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
      1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
    Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une diminution de 20%20\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 20%20\% est : 1−201001-\frac{20}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11−201001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-\frac{20}{100} } . Ici nous faisons bien 1−201001-\frac{20}{100} au dénominateur car nous avons une baisse de 20%20\%.
    1+t′100=11−0,21+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-0,2 }
    1+t′100=10,81+\frac{t'}{100} =\frac{1}{0,8 }
    1+t′100=1,251+\frac{t'}{100} =1,25
    t′100=1,25−1\frac{t'}{100} =1,25-1
    t′100=0,25\frac{t'}{100} =0,25
    t′=0,25×100t' =0,25\times100
    t′=25%t' =25\%

    Si un prix diminue de 20%20\% alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une augmentation de 25%25\%.