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Evolutions réciproques - Exercice 1

10 min

Question 1

Un prix augmente de $60\%$ . Quel devra être le taux du pourcentage d'évolution réciproque pour que cette action retrouve son prix initial.

Correction

Soient $V_{0}$ la valeur initiale d’une grandeur, $V_{1}$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de $t\%$ .
Soit $t'\%$ l'évolution réciproque d'une évolution $t\%$ .
Pour déterminer la valeur du taux réciproque $t'\%$ , il nous faut résoudre l'équation :
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }$

Soit

t'\%

l'évolution réciproque d'une augmentation de

60\%

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de

60\%

est :

1+\frac{60}{100}

Pour trouver la valeur de

t'\%

, il nous faut donc résoudre l'équation :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }

.
Ainsi :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{60}{100} }

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,6 }

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,6 }

1+\frac{t'}{100} =0,625

\frac{t'}{100} =0,625-1

\frac{t'}{100} =-0,375

t' =-0,375\times100

t' =-37,5\%

Si un prix augmente de

60\%

alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de

37,5\%

Question 2

Correction

Soient $V_{0}$ la valeur initiale d’une grandeur, $V_{1}$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de $t\%$ .
Soit $t'\%$ l'évolution réciproque d'une évolution $t\%$ .
Pour déterminer la valeur du taux réciproque $t'\%$ , il nous faut résoudre l'équation :
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }$

Soit

t'\%

l'évolution réciproque d'une diminution de

20\%

Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de

20\%

est :

1-\frac{20}{100}

Pour trouver la valeur de

t'\%

, il nous faut donc résoudre l'équation :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }

.
Ainsi :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-\frac{20}{100} }

. Ici nous faisons bien

1-\frac{20}{100}

au dénominateur car nous avons une baisse de

20\%

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-0,2 }

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{0,8 }

1+\frac{t'}{100} =1,25

\frac{t'}{100} =1,25-1

\frac{t'}{100} =0,25

t' =0,25\times100

t' =25\%

Si un prix diminue de

20\%

alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une augmentation de

25\%

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