Automatismes : calcul numérique et algébrique

Sujet 1 - Exercice 6

8 min
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Question 1

Déterminer l'équation réduite de la droite (D)(D) passant par les points A(3;7)A\left(3;7\right) et B(4;8)B\left(4;8\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yByAxBxAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=8743a=\frac{8-7}{4-3 }
a=11a=\frac{1}{1}
a=1a=1

Ainsi : f(x)=x+bf\left(x\right)=x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(3;7)A\left(3;7\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=xA+bf\left(x_{A}\right)=x_{A}+b ou encore yA=xA+by_{A}=x_{A}+b.
Il vient alors que :
7=3+b7=3+b équivaut successivement à :
3+b=73+b=7
b=73b=7-3
b=4b=4

Finalement, l'expression de la droite (D)\left(D\right) est :
y=x+4y=x+4
Question 2

Déterminer l'équation réduite de la droite (D)(D) passant par les points A(1;5)A\left(1;-5\right) et B(4;4)B\left(4;4\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yByAxBxAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=4(5)41a=\frac{4-\left(-5\right)}{4-1 }
a=93a=\frac{9}{3}
a=3a=3

Ainsi : f(x)=3x+bf\left(x\right)=3x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(1;5)A\left(1;-5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=3xA+bf\left(x_{A}\right)=3x_{A}+b ou encore yA=3xA+by_{A}=3x_{A}+b.
Il vient alors que :
5=3×1+b-5=3\times1+b équivaut successivement à :
3×1+b=53\times1+b=-5
b=53b=-5-3
b=8b=-8

Finalement, l'expression de la droite (D)\left(D\right) est :
y=3x8y=3x-8