Cours sur les factorisations

Factorisation

Définition

  • Factoriser une somme, c’est écrire cette somme sous la forme d’un produit.

Méthodes

Recherche du facteur commun

Propriété
  • Pour factoriser une expression, il faut chercher le facteur commun dans chaque terme de l'expression.
Exemple 1 :\pink{\text{Exemple 1 :}} Factoriser l’expression A=4x4y4zA=4x-4y-4z Le facteur commun ici est 4{\color{blue}4}. A=4×x4×y4×zA= {\color{blue}4}\times x-{\color{blue}4}\times y-{\color{blue}4}\times z Ainsi :
A=4(xyz)A={\color{blue}4}\left(x-y-z\right)
Exemple 2 :\pink{\text{Exemple 2 :}} Factoriser l’expression B(x)=5x24xB\left(x\right)=5x^{2}-4x Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}. B(x)=5×x×x4×xB\left(x\right)=5\times {\color{blue}x}\times x-4\times {\color{blue}x} Ainsi :
B(x)=x(5x4)B\left(x\right)={\color{blue}x}\left(5x-4\right)
Exemple 3 :\pink{\text{Exemple 3 :}} Factoriser l’expression C(x)=(2x+6)(3x7)+(4x)(2x+6)C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(3x-7\right)+\left(4-x\right)\left(2x+6\right) Le facteur commun ici est 2x+6{\color{blue}{2x+6}}. C(x)=(2x+6)(3x7)+(4x)(2x+6)C\left(x\right)={\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\left(3x-7\right)+\left(4-x\right){\color{blue}{\left(2x+6\right)}} équivaut successivement à : C(x)=(2x+6)×(3x7+4x)C\left(x\right)={\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\times \left(3x-7+4-x\right) Ainsi :
C(x)=(2x+6)(2x3)C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(2x-3\right)

Factorisation avec les identités remarquables

Factoriser en utilisant l'identité remarquable a2+2×a×b+b2=(a+b)2{\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}
Remarque :
  • Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Factoriser l’expression D(x)=9x2+12x+4D\left(x\right)=9x^{2} +12x+4 D(x)=9x2+12x+4D\left(x\right)=9x^{2} +12x+4 équivaut successivement à : D(x)=(3x)2+2×3x×2+22D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}\right)^{2} +2\times{\color{blue}3x}\times {\color{red}2}+{\color{red}2}^{2} Ici nous avons a=3xa={\color{blue}3x} et b=2b={\color{red}2}. Il vient alors que : Ainsi :
D(x)=(3x+2)2D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}+{\color{red}2}\right)^{2}

Factoriser en utilisant l'identité remarquable a22×a×b+b2=(ab)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
Remarque :
  • Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Factoriser l’expression E(x)=x26x+9E\left(x\right)=x^{2} -6x+9 E(x)=x26x+9E\left(x\right)=x^{2} -6x+9 équivaut successivement à : E(x)=x22×x×3+32E\left(x\right)={\color{blue}x}^{2} -2\times{\color{blue}x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2} Ici nous avons a=xa={\color{blue}x} et b=3b={\color{red}3}. Il vient alors que :
E(x)=(x3)2E\left(x\right)=\left({\color{blue}x}-{\color{red}3}\right)^{2}

Factoriser en utilisant l'identité remarquable a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
Remarque :
  • Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Factoriser l’expression F(x)=4x225F\left(x\right)=4x^{2}-25 F(x)=4x225F\left(x\right)=4x^{2}-25 équivaut successivement à : F(x)=(2x)252F\left(x\right)=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -{\color{red}5}^{2} Ici nous avons a=2xa={\color{blue}2x} et b=5b={\color{red}5}. Il vient alors que :
F(x)=(2x5)(2x+5)F\left(x\right)=\left({\color{blue}2x}-{\color{red}5}\right)\left({\color{blue}2x}+{\color{red}5}\right)