Variable aléatoire : des issues aux évènements {X = a} et {X ≤ a} - Exercice 3

20 min

On lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées de

1

6

. On note

X

le plus grand des deux numéros obtenus (si les deux numéros sont égaux,

X

est ce numéro).

Question 1

Représenter les $36$ issues dans un tableau à double entrée, en écrivant dans chaque case la valeur de $X$ .

Correction

Chaque dé a

6

faces : il y a

6\times 6=36

issues possibles. Les dés étant équilibrés, ces

36

issues sont équiprobables.
Dans chaque case, on écrit le plus grand des deux numéros :

Question 2

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

Correction

On compte, dans le tableau, le nombre de cases où apparaît chaque valeur :

P\left(X=1\right)=\dfrac{1}{36}

P\left(X=2\right)=\dfrac{3}{36}

P\left(X=3\right)=\dfrac{5}{36}

P\left(X=4\right)=\dfrac{7}{36}

P\left(X=5\right)=\dfrac{9}{36}

P\left(X=6\right)=\dfrac{11}{36}

Vérification :

\dfrac{1+3+5+7+9+11}{36}=\dfrac{36}{36}=1

.
On peut donc dresser la loi de probabilité de

X

Question 3

Expliquer pourquoi l'évènement $\left\{X\leqslant 3\right\}$ signifie « les deux dés donnent chacun un numéro inférieur ou égal à $3$ ». En déduire $P\left(X\leqslant 3\right)$ de deux façons.

Correction

Le plus grand des deux numéros est inférieur ou égal à

3

si et seulement si les deux numéros sont inférieurs ou égaux à

3

\red{\text{Première façon :}}

avec la loi de

X

P\left(X\leqslant 3\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)

P\left(X\leqslant 3\right)=\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}=\dfrac{9}{36}

\red{\text{Deuxième façon :}}

avec le tableau. Les issues favorables forment le carré des numéros

1

2

3

: il y a

3\times 3=9

cases.

P\left(X\leqslant 3\right)=\dfrac{9}{36}

D'où :

P\left(X\leqslant 3\right)=\dfrac{1}{4}

Question 4

Calculer l'espérance de $X$ et l'interpréter.

Correction

On appelle l'espérance mathématique de la variable

X

, la quantité notée

E\left(X\right)

définie par :

$E\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}$

Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.

E\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}

E\left(X\right)=1\times\dfrac{1}{36}+2\times\dfrac{3}{36}+3\times\dfrac{5}{36}+4\times\dfrac{7}{36}+5\times\dfrac{9}{36}+6\times\dfrac{11}{36}

E\left(X\right)=\dfrac{1+6+15+28+45+66}{36}

D'où :

E\left(X\right)=\dfrac{161}{36}\approx 4{,}47

Sur un grand nombre de lancers, le plus grand des deux numéros vaut en moyenne environ

4{,}47

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Variable aléatoire : des issues aux évènements {X = a} et {X ≤ a} - Exercice 3

Représenter les 363636 issues dans un tableau à double entrée, en écrivant dans chaque case la valeur de XXX.

Déterminer la loi de probabilité de XXX.

Expliquer pourquoi l'évènement {X⩽3}\left\{X\leqslant 3\right\}{X⩽3} signifie « les deux dés donnent chacun un numéro inférieur ou égal à 333 ». En déduire P(X⩽3)P\left(X\leqslant 3\right)P(X⩽3) de deux façons.

Calculer l'espérance de XXX et l'interpréter.

Représenter les $36$ issues dans un tableau à double entrée, en écrivant dans chaque case la valeur de $X$ .

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

Expliquer pourquoi l'évènement $\left\{X\leqslant 3\right\}$ signifie « les deux dés donnent chacun un numéro inférieur ou égal à $3$ ». En déduire $P\left(X\leqslant 3\right)$ de deux façons.

Calculer l'espérance de $X$ et l'interpréter.