Variable aléatoire : des issues aux évènements {X = a} et {X ≤ a} - Exercice 2

15 min
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Une équipe de handball junior joue un match. On note XX le nombre de buts marqués par son meilleur joueur pendant le match. Une étude des matchs précédents permet d'adopter la loi de probabilité suivante :
Question 1

Traduire par une phrase les évènements {X=0}\left\{X=0\right\} et {X⩾3}\left\{X\geqslant 3\right\}.

Correction
  • {X=0}\left\{X=0\right\} : « le joueur ne marque aucun but » ;
  • {X⩾3}\left\{X\geqslant 3\right\} : « le joueur marque au moins 33 buts ».
Question 2
Écrire chacune des probabilités suivantes avec la notation P(…)P\left(\ldots\right), puis la calculer.

La probabilité que le joueur marque au plus 11 but.

Correction
« Au plus 11 but » signifie 00 ou 11 but, c'est-à-dire X⩽1X\leqslant 1.
P(X⩽1)=P(X=0)+P(X=1)P\left(X\leqslant 1\right)=P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)
P(X⩽1)=0,15+0,3P\left(X\leqslant 1\right)=0{,}15+0{,}3
D'où :
P(X⩽1)=0,45P\left(X\leqslant 1\right)=0{,}45
Question 3

La probabilité que le joueur marque au moins 22 buts.

Correction
« Au moins 22 buts » signifie 22, 33 ou 44 buts, c'est-à-dire X⩾2X\geqslant 2.
P(X⩾2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)P\left(X\geqslant 2\right)=P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)
P(X⩾2)=0,25+0,2+0,1P\left(X\geqslant 2\right)=0{,}25+0{,}2+0{,}1
D'où :
P(X⩾2)=0,55P\left(X\geqslant 2\right)=0{,}55
Question 4

La probabilité que le joueur marque entre 11 et 33 buts (inclus).

Correction
« Entre 11 et 33 buts inclus » se traduit par 1⩽X⩽31\leqslant X\leqslant 3.
P(1⩽X⩽3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P\left(1\leqslant X\leqslant 3\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)
P(1⩽X⩽3)=0,3+0,25+0,2P\left(1\leqslant X\leqslant 3\right)=0{,}3+0{,}25+0{,}2
D'où :
P(1⩽X⩽3)=0,75P\left(1\leqslant X\leqslant 3\right)=0{,}75
Question 5

Dresser le tableau des probabilités P(X⩽k)P\left(X\leqslant k\right), pour kk allant de 00 à 44.

Correction
On ajoute, au fur et à mesure, la probabilité de la valeur suivante :
  • P(X⩽0)=0,15P\left(X\leqslant 0\right)=0{,}15 ;
  • P(X⩽1)=0,15+0,3=0,45P\left(X\leqslant 1\right)=0{,}15+0{,}3=0{,}45 ;
  • P(X⩽2)=0,45+0,25=0,7P\left(X\leqslant 2\right)=0{,}45+0{,}25=0{,}7 ;
  • P(X⩽3)=0,7+0,2=0,9P\left(X\leqslant 3\right)=0{,}7+0{,}2=0{,}9 ;
  • P(X⩽4)=0,9+0,1=1P\left(X\leqslant 4\right)=0{,}9+0{,}1=1.
Il vient alors que :
Question 6

Justifier que P(X>2)=1−P(X⩽2)P\left(X\gt 2\right)=1-P\left(X\leqslant 2\right), puis calculer P(X>2)P\left(X\gt 2\right).

Correction
  • Pour tout évènement AA : P(A‾)=1−P(A)P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right).
L'évènement {X>2}\left\{X\gt 2\right\} est l'évènement contraire de {X⩽2}\left\{X\leqslant 2\right\} : un nombre de buts est soit inférieur ou égal à 22, soit strictement supérieur à 22.
Il en résulte que :
P(X>2)=1−P(X⩽2)P\left(X\gt 2\right)=1-P\left(X\leqslant 2\right)
P(X>2)=1−0,7P\left(X\gt 2\right)=1-0{,}7
D'où :
P(X>2)=0,3P\left(X\gt 2\right)=0{,}3
Vérification : P(X=3)+P(X=4)=0,2+0,1=0,3P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=0{,}2+0{,}1=0{,}3.

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