Variable aléatoire : des issues aux évènements {X = a} et {X ≤ a} - Exercice 1

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On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Chaque « Pile » obtenu fait gagner 22 euros et chaque « Face » fait perdre 11 euro.
On note XX le gain total, en euros, à l'issue des deux lancers.
Question 1

Écrire l'univers Ω\Omega de cette expérience. Les issues sont-elles équiprobables ?

Correction
On note PP pour « Pile » et FF pour « Face ». Une issue est le résultat des deux lancers, dans l'ordre :
Ω={PP;PF;FP;FF}\Omega=\left\{PP;PF;FP;FF\right\}

La pièce est équilibrée : chacune des 44 issues a la même probabilité 12×12=14\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}. Les issues sont donc équiprobables.
Question 2

Pour chaque issue ω\omega, calculer X(ω)X\left(\omega\right) et présenter les résultats dans un tableau.

Correction
  • Une variable aléatoire XX est une fonction qui, à chaque issue ω\omega de l'univers Ω\Omega, associe un nombre réel X(ω)X\left(\omega\right).
  • {X=a}\left\{X=a\right\} désigne l'évènement formé des issues ω\omega telles que X(ω)=aX\left(\omega\right)=a ; de même pour {X⩽a}\left\{X\leqslant a\right\}, {X⩾a}\left\{X\geqslant a\right\}…
  • X(PP)=2+2=4X\left(PP\right)=2+2=4 ;
  • X(PF)=2−1=1X\left(PF\right)=2-1=1 ;
  • X(FP)=−1+2=1X\left(FP\right)=-1+2=1 ;
  • X(FF)=−1−1=−2X\left(FF\right)=-1-1=-2.
Il vient alors que :
Question 3

Écrire, à l'aide des issues, les évènements {X=1}\left\{X=1\right\}, {X⩾1}\left\{X\geqslant 1\right\} et {X⩽0}\left\{X\leqslant 0\right\}.

Correction
On lit dans le tableau les issues dont l'image convient :
{X=1}={PF;FP}\left\{X=1\right\}=\left\{PF;FP\right\}
{X⩾1}={PP;PF;FP}\left\{X\geqslant 1\right\}=\left\{PP;PF;FP\right\}
{X⩽0}={FF}\left\{X\leqslant 0\right\}=\left\{FF\right\}

Question 4

Déterminer la loi de probabilité de XX.

Correction
  • Donner la loi de probabilité de XX, c'est donner les valeurs x1x_{1}, x2x_{2}, …, xnx_{n} prises par XX et les probabilités pi=P(X=xi)p_{i}=P\left(X=x_{i}\right).
  • La somme des probabilités vaut 11 : p1+p2+…+pn=1p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{n}=1.
XX prend les valeurs suivantes −2-2, 11 et 44.
P(X=−2)=P({FF})=14P\left(X=-2\right)=P\left(\left\{FF\right\}\right)=\dfrac{1}{4}
P(X=1)=P({PF;FP})=24=12P\left(X=1\right)=P\left(\left\{PF;FP\right\}\right)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
P(X=4)=P({PP})=14P\left(X=4\right)=P\left(\left\{PP\right\}\right)=\dfrac{1}{4}
Vérification : 14+12+14=1\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1.
On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 5

Calculer P(X⩾1)P\left(X\geqslant 1\right) et traduire ce résultat par une phrase.

Correction
P(X⩾1)=P(X=1)+P(X=4)P\left(X\geqslant 1\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=4\right)
P(X⩾1)=12+14P\left(X\geqslant 1\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}
D'où :
P(X⩾1)=34P\left(X\geqslant 1\right)=\dfrac{3}{4}

La probabilité de gagner au moins 11 euro à l'issue des deux lancers est égale à 34\dfrac{3}{4}.

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