Sujet Antilles-Guyane – 12 juin 2026 - Exercice 1

30 min
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On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma.
On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de 1818 ans ou moins.
On désigne par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.
Une étude a permis d'établir les résultats suivants :
  • 60 %60\,\% des spectateurs sont abonnés ;
  • parmi les spectateurs abonnés, 40 %40\,\% sont jeunes ;
  • parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, 20 %20\,\% sont jeunes.
On interroge au hasard un spectateur et on considère les évènements suivants :
  • AA : « le spectateur est abonné » ;
  • JJ : « le spectateur est jeune ».
Question 1

Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

Correction
Puisque le spectateur est interrogé au hasard, on assimile les proportions données à des probabilités. D'après l'énoncé, on a :
  • 60 %60\,\% des spectateurs sont abonnés : P(A)=0,6P\left(A\right)=0{,}6, donc P(A‾)=1−0,6=0,4P\left(\overline{A}\right)=1-0{,}6=0{,}4 ;
  • parmi les abonnés, 40 %40\,\% sont jeunes : PA(J)=0,4P_{A}\left(J\right)=0{,}4, donc PA(J‾)=0,6P_{A}\left(\overline{J}\right)=0{,}6 ;
  • parmi les non abonnés, 20 %20\,\% sont jeunes : PA‾(J)=0,2P_{\overline{A}}\left(J\right)=0{,}2, donc PA‾(J‾)=0,8P_{\overline{A}}\left(\overline{J}\right)=0{,}8.
  • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
L'arbre pondéré complété est :
Question 2

Calculer la probabilité P(A∩J)P(A\cap J) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction
  • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
On cherche à calculer la probabilité de l'évènement A∩JA\cap J.
Il en résulte que :
P(A∩J)=P(A)×PA(J)P\left(A\cap J\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(J\right)
P(A∩J)=0,6×0,4P\left(A\cap J\right)=0{,}6\times 0{,}4
D'où :
P(A∩J)=0,24P\left(A\cap J\right)=0{,}24
Interprétation : 24 %24\,\% des spectateurs de ce cinéma sont à la fois abonnés et jeunes.
Question 3

Démontrer que P(J)=0,32P(J)=0{,}32.

Correction
Les évènements AA et A‾\overline{A} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(J)=P(A∩J)+P(A‾∩J)P\left(J\right)=P\left(A\cap J\right)+P\left(\overline{A}\cap J\right) équivaut successivement à :
P(J)=P(A)×PA(J)+P(A‾)×PA‾(J)P\left(J\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(J\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}\left(J\right)
P(J)=0,24+0,4×0,2P\left(J\right)=0{,}24+0{,}4\times 0{,}2
P(J)=0,24+0,08P\left(J\right)=0{,}24+0{,}08
Ainsi :
P(J)=0,32P\left(J\right)=0{,}32
Question 4
On considère l'affirmation suivante :
« Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné. »

Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le spectateur interrogé est jeune, quelle est la probabilité qu'il soit abonné ?
On cherche donc PJ(A)P_{J}\left(A\right).
  • Pour deux évènements AA et BB avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0 : PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
PJ(A)=P(A∩J)P(J)P_{J}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap J\right)}{P\left(J\right)}
PJ(A)=0,240,32=2432=34P_{J}\left(A\right)=\dfrac{0{,}24}{0{,}32}=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4}
PJ(A)=0,75P_{J}\left(A\right)=0{,}75
Or 0,75>0,50{,}75\gt 0{,}5 : un spectateur jeune a 33 chances sur 44 d'être abonné.
Ainsi :
L'affirmation est exacte.
Question 5
Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
  • un spectateur non abonné paie sa place 55 euros, quel que soit son âge ;
  • un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place 22 euros ;
  • un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit.
On note XX la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire XX.

Correction
XX prend les valeurs suivantes 00, 22 et 55 donc X∈{0;2;5}X\in\left\{0;2;5\right\}.
  • {X=0}=A∩J\left\{X=0\right\}=A\cap J (abonné et jeune) :
    P(X=0)=0,24P\left(X=0\right)=0{,}24

    (vu à la question 2)
  • {X=2}=A∩J‾\left\{X=2\right\}=A\cap\overline{J} (abonné non jeune) : P(X=2)=0,6×0,6P\left(X=2\right)=0{,}6\times 0{,}6, donc :
    P(X=2)=0,36P\left(X=2\right)=0{,}36
  • {X=5}=A‾\left\{X=5\right\}=\overline{A} (non abonné, quel que soit son âge) :
    P(X=5)=0,4P\left(X=5\right)=0{,}4
Vérification : 0,24+0,36+0,4=10{,}24+0{,}36+0{,}4=1.
On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 6

Calculer l'espérance de la variable aléatoire XX et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}
E(X)=0×0,24+2×0,36+5×0,4E\left(X\right)=0\times 0{,}24+2\times 0{,}36+5\times 0{,}4
E(X)=0+0,72+2E\left(X\right)=0+0{,}72+2
D'où :
E(X)=2,72E\left(X\right)=2{,}72

En moyenne, sur un grand nombre de spectateurs, le prix payé pour une place est de 2,722{,}72 euros. Par exemple, pour 1 0001\,000 spectateurs, le cinéma peut s'attendre à une recette d'environ 2 7202\,720 euros.

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