Sujet Amérique du Nord – 1^er juin 2026 - Exercice 1

L'urne contient $$1$$ boule rouge parmi $$10$$ boules. Au premier tirage, chaque boule a la même probabilité d'être tirée, donc :
$$P\left(R_{1}\right)=\dfrac{1}{10}=0{,}1$$ et $$P\left(\overline{R_{1}}\right)=\dfrac{9}{10}=0{,}9$$.
La première boule est remise dans l'urne : au second tirage, l'urne contient de nouveau $$1$$ boule rouge et $$9$$ boules vertes, quelle que soit la couleur de la première boule. Donc :
$$P_{R_{1}}\left(R_{2}\right)=P_{\overline{R_{1}}}\left(R_{2}\right)=0{,}1$$ et $$P_{R_{1}}\left(\overline{R_{2}}\right)=P_{\overline{R_{1}}}\left(\overline{R_{2}}\right)=0{,}9$$.L'arbre pondéré complété est :

Le gain algébrique est égal à la somme reçue moins les $$1$$ euro de participation :

• deux boules rouges : le joueur reçoit $$3$$ euros, donc $$X=3-1=2$$ ;
• deux boules vertes : le joueur reçoit $$1$$ euro, donc $$X=1-1=0$$ ;
• une boule rouge et une boule verte (dans un ordre ou dans l'autre) : le joueur ne reçoit rien, donc $$X=0-1=-1$$.

$$X$$ prend donc les valeurs suivantes $$-1$$, $$0$$ et $$2$$ d'où :

L'évènement $$\left\{X=-1\right\}$$ est réalisé lorsque le joueur tire une boule de chaque couleur : rouge puis verte, ou verte puis rouge.
Il correspond donc aux deux chemins $$R_{1}\cap\overline{R_{2}}$$ et $$\overline{R_{1}}\cap R_{2}$$ de l'arbre. Il en résulte que :
$$P\left(R_{1}\cap\overline{R_{2}}\right)=P\left(R_{1}\right)\times P_{R_{1}}\left(\overline{R_{2}}\right)=0{,}1\times 0{,}9=0{,}09$$
$$P\left(\overline{R_{1}}\cap R_{2}\right)=P\left(\overline{R_{1}}\right)\times P_{\overline{R_{1}}}\left(R_{2}\right)=0{,}9\times 0{,}1=0{,}09$$
Ces deux chemins correspondent à des évènements incompatibles : on additionne leurs probabilités.
$$P\left(X=-1\right)=0{,}09+0{,}09=0{,}18$$
D'où :

• $$P\left(X=-1\right)=0{,}18$$ (vu à la question précédente) ;
• $$\left\{X=0\right\}$$ correspond au chemin $$\overline{R_{1}}\cap\overline{R_{2}}$$ : $$P\left(X=0\right)=0{,}9\times 0{,}9$$, donc :
  $$P\left(X=0\right)=0{,}81$$
• $$\left\{X=2\right\}$$ correspond au chemin $$R_{1}\cap R_{2}$$ : $$P\left(X=2\right)=0{,}1\times 0{,}1$$, donc :
  $$P\left(X=2\right)=0{,}01$$

Vérification : $$0{,}18+0{,}81+0{,}01=1$$.
On peut donc dresser la loi de probabilité de $$X$$ :

$$E\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}$$
$$E\left(X\right)=\left(-1\right)\times 0{,}18+0\times 0{,}81+2\times 0{,}01$$
$$E\left(X\right)=-0{,}18+0+0{,}02$$
D'où :
En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd $$0{,}16$$ euro (soit $$16$$ centimes) par partie. Le jeu est défavorable au joueur et favorable au forain.

Démarche : on reprend l'arbre de la partie A en remplaçant les probabilités par leurs expressions en fonction de $$n$$, on en déduit la loi de $$Y$$, puis on calcule son espérance.
L'urne contient $$n$$ boules rouges et $$10-n$$ boules vertes, et les tirages se font avec remise. À chaque tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est donc $$\dfrac{n}{10}$$ et celle de tirer une boule verte est $$\dfrac{10-n}{10}$$.Les gains sont les mêmes que dans la partie A : $$Y$$ prend les valeurs $$2$$, $$0$$ et $$-1$$.

• $$P\left(Y=2\right)=\dfrac{n}{10}\times\dfrac{n}{10}=\dfrac{n^{2}}{100}$$ ;
• $$P\left(Y=0\right)=\dfrac{10-n}{10}\times\dfrac{10-n}{10}=\dfrac{\left(10-n\right)^{2}}{100}$$ ;
• $$P\left(Y=-1\right)=\dfrac{n}{10}\times\dfrac{10-n}{10}+\dfrac{10-n}{10}\times\dfrac{n}{10}=\dfrac{2n\left(10-n\right)}{100}$$.

$$E\left(Y\right)=\sum y_{i}\times p_{i}$$
$$E\left(Y\right)=2\times\dfrac{n^{2}}{100}+0\times\dfrac{\left(10-n\right)^{2}}{100}+\left(-1\right)\times\dfrac{2n\left(10-n\right)}{100}$$
$$E\left(Y\right)=\dfrac{2n^{2}-2n\left(10-n\right)}{100}$$
$$E\left(Y\right)=\dfrac{2n^{2}-20n+2n^{2}}{100}$$
Finalement :

On résout donc l'équation $$E\left(Y\right)=0$$, qui équivaut successivement à :
$$\dfrac{4n^{2}-20n}{100}=0$$
$$4n^{2}-20n=0$$
$$4n\left(n-5\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$4n=0$$ ce qui nous donne $$n=0$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$n-5=0$$ ce qui nous donne $$n=5$$
Les deux valeurs conviennent, car $$n$$ est un entier compris entre $$0$$ et $$10$$.
Pour $$n=0$$, l'urne ne contient que des boules vertes : le joueur reçoit toujours $$1$$ euro et son gain est toujours nul. Le jeu est équitable, mais sans intérêt.
Ainsi :