Simuler une variable aléatoire et étudier des échantillons - Exercice 2

25 min
45
On reprend le jeu de l'exercice 1 : E(X)=−13E\left(X\right)=-\dfrac{1}{3} et σ(X)=253\sigma\left(X\right)=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}. On ajoute au programme la fonction ci-dessous, qui utilise la fonction moyenne de l'exercice 1.
Question 1

Que compte la variable c ? Que renvoie proportion(N, n) ?

Correction
La boucle simule NN échantillons de nn parties. Pour chacun, m est le gain moyen de l'échantillon.
c augmente de 11 quand l'écart entre m et μ=E(X)\mu=E\left(X\right) est inférieur ou égal à 2σn\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}.
Ainsi :
la fonction renvoie la proportion des NN échantillons pour lesquels ∣m−E(X)∣⩽2σn\left|m-E\left(X\right)\right|\leqslant\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}
Question 2

Pour n=100n=100, calculer 2σn\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}} arrondi au millième, puis l'intervalle dans lequel doit se trouver mm pour que l'échantillon soit compté.

Correction
2σ100=210×253=2515\dfrac{2\sigma}{\sqrt{100}}=\dfrac{2}{10}\times\dfrac{2\sqrt{5}}{3}=\dfrac{2\sqrt{5}}{15}
D'où :
2σ100≈0,298\dfrac{2\sigma}{\sqrt{100}}\approx 0{,}298

L'échantillon est compté lorsque −13−0,298⩽m⩽−13+0,298-\dfrac{1}{3}-0{,}298\leqslant m\leqslant -\dfrac{1}{3}+0{,}298, c'est-à-dire, en arrondissant au millième :
−0,631⩽m⩽−0,035-0{,}631\leqslant m\leqslant -0{,}035
Question 3

Une exécution a donné les résultats ci-dessous. Commenter, et expliquer comment évolue la largeur de l'intervalle quand on passe de n=100n=100 à n=400n=400.

Correction
  • Lorsque l'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la moyenne des valeurs obtenues pour XX se rapproche, en général, de l'espérance E(X)E\left(X\right).
  • Pour des échantillons de taille nn, dans environ 95%95\% des cas, la moyenne mm de l'échantillon vérifie ∣m−E(X)∣⩽2σn\left|m-E\left(X\right)\right|\leqslant\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}, où σ=σ(X)\sigma=\sigma\left(X\right).
Dans les deux cas, la proportion obtenue (0,9460{,}946 et 0,9550{,}955) est proche de 0,950{,}95 : environ 95%95\% des échantillons ont un gain moyen à moins de 2σn\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}} de l'espérance.
Pour n=400n=400 : 2σ400=2σ20≈0,149\dfrac{2\sigma}{\sqrt{400}}=\dfrac{2\sigma}{20}\approx 0{,}149. Comme 400=2×100\sqrt{400}=2\times\sqrt{100}, l'écart toléré est divisé par 22.
Ainsi :
quand la taille de l'échantillon est multipliée par 44, la largeur de l'intervalle est divisée par 22 : les moyennes se resserrent autour de l'espérance
Question 4

Un forain affirme que son dé est équilibré. Sur 100100 parties jouées à son stand, le gain moyen des joueurs est de 0,20{,}2 euro. Ce résultat vous semble-t-il compatible avec un dé équilibré ?

Correction
Si le dé est équilibré, l'écart entre le gain moyen de 100100 parties et −13-\dfrac{1}{3} est inférieur ou égal à 0,2980{,}298 dans environ 95%95\% des cas.
Or 0,2−(−13)=815≈0,5330{,}2-\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}533, qui est plus grand que 0,2980{,}298 : le gain moyen 0,20{,}2 est en dehors de l'intervalle [−0,631;−0,035]\left[-0{,}631;-0{,}035\right].
Ainsi :
un tel résultat arrive rarement avec un dé équilibré (un écart supérieur à 0,2980{,}298 n'arrive que dans environ 5%5\% des cas) : on peut douter que le dé soit équilibré

Ce n'est pas une preuve : un échantillon rare reste possible, mais il est peu probable.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.