Simuler une variable aléatoire et étudier des échantillons - Exercice 1

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À un stand, on mise 11 euro et on lance un dé équilibré à six faces. Si l'on obtient 66, on reçoit 44 euros ; sinon, on ne reçoit rien. On note XX le gain algébrique du joueur, en euros.
Le programme Python ci-dessous simule ce jeu.
Question 1

Expliquer pourquoi la fonction gain simule une partie, puis donner la loi de probabilité de XX.

Correction
randint(1, 6) renvoie un entier au hasard entre 11 et 66, chacun avec la probabilité 16\dfrac{1}{6} : c'est le lancer du dé.
Si le dé donne 66, le joueur reçoit 44 euros pour une mise de 11 euro : son gain est 4−1=34-1=3. Sinon, il perd sa mise : son gain est −1-1.
P(X=3)=16P\left(X=3\right)=\dfrac{1}{6}
P(X=−1)=56P\left(X=-1\right)=\dfrac{5}{6}

On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 2

Calculer E(X)E\left(X\right) et l'interpréter.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=3×16+(−1)×56E\left(X\right)=3\times\dfrac{1}{6}+\left(-1\right)\times\dfrac{5}{6}
E(X)=3−56=−26E\left(X\right)=\dfrac{3-5}{6}=-\dfrac{2}{6}
D'où :
E(X)=−13≈−0,333E\left(X\right)=-\dfrac{1}{3}\approx -0{,}333

En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd environ 0,330{,}33 euro par partie.
Question 3

Calculer V(X)V\left(X\right) à l'aide de la formule de König-Huygens, puis montrer que σ(X)=253\sigma\left(X\right)=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}.

Correction
Formule de König-Huygens :
  • V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2} où E(X2)=∑xi2×pi=x12×p1+x22×p2+…+xn2×pnE\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\times p_{i}=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}.
E(X2)=32×16+(−1)2×56=9+56=146=73E\left(X^{2}\right)=3^{2}\times\dfrac{1}{6}+\left(-1\right)^{2}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{9+5}{6}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}
V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}
V(X)=73−(−13)2=219−19V\left(X\right)=\dfrac{7}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{21}{9}-\dfrac{1}{9}
D'où :
V(X)=209V\left(X\right)=\dfrac{20}{9}

σ(X)=209=203=4×53\sigma\left(X\right)=\sqrt{\dfrac{20}{9}}=\dfrac{\sqrt{20}}{3}=\dfrac{\sqrt{4\times 5}}{3}
D'où :
σ(X)=253≈1,49\sigma\left(X\right)=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\approx 1{,}49
Question 4

Que renvoie la fonction moyenne(n) ?

Correction
La boucle simule nn parties et ajoute leurs gains dans s. La fonction renvoie s / n.
Ainsi :
la fonction renvoie le gain moyen d'un échantillon de nn parties simulées
Question 5

Trois appels ont donné les résultats ci-dessous. Commenter.

Correction
  • Lorsque l'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la moyenne des valeurs obtenues pour XX se rapproche, en général, de l'espérance E(X)E\left(X\right).
  • Pour des échantillons de taille nn, dans environ 95%95\% des cas, la moyenne mm de l'échantillon vérifie ∣m−E(X)∣⩽2σn\left|m-E\left(X\right)\right|\leqslant\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}, où σ=σ(X)\sigma=\sigma\left(X\right).
  • Pour 1010 parties, le gain moyen est 0,20{,}2 : il est positif, loin de E(X)≈−0,333E\left(X\right)\approx -0{,}333. Sur peu de parties, le hasard a un grand effet (33 six en 1010 lancers, ici).
  • Pour 100100 parties, on obtient −0,28-0{,}28 : déjà plus proche de −0,333-0{,}333.
  • Pour 10 00010\,000 parties, on obtient −0,3232-0{,}3232 : très proche de −0,333-0{,}333.
Ainsi :
plus la taille nn de l'échantillon est grande, plus le gain moyen observé est proche, en général, de l'espérance E(X)=−13E\left(X\right)=-\dfrac{1}{3}

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