Variables aléatoires

Petits problèmes.... - Exercice 5

15 min
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Adam dispose, dans sa collection, de 8080 cartes de basket NBA dont 18\frac{1}{8} sont écrites en Anglais, les autres en Français ou en Espagnol. Il y a cinq fois plus de cartes françaises qu'anglaises.
Il décide de proposer un jeu à la fête de son école. La personne doit tirer une carte au hasard :
– si la carte tirée est en espagnol, le joueur perd x2x^{2} pièces de 11 euro,
– si la carte tirée est en Français, le joueur perd 3x3x pièces de 11 euro,
– si la carte tirée est en Anglais, Adam donne , au joueur, x3x^{3} pièces de 11 euro,
Bien entendu, x≥0x\ge0.
On note XX la variable aléatoire correspondant au gain obtenu par Adam à ce jeu.
Question 1

Pour les questions 11 et 22, on suppose que x=2x=2.
Déterminer la loi de probabilité de XX.

Correction
Nous savons qu'il y a 18\frac{1}{8} de cartes anglais.
Il y a cinq fois plus de cartes françaises qu'anglaises. Cela signifie que l'on a 58\frac{5}{8} de cartes françaises.
Finalement, il y a 28\frac{2}{8} de cartes espagnoles.
La loi de probabilité de XX est donnée ci-dessous :
Question 2

Pour les questions 11 et 22, on suppose que x=2x=2.
Quel est le gain moyen de ce jeu ? Quelle interprétation peut-on en faire ?

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
E(X)=4×28+6×58−8×18E\left(X \right)=4\times \frac{2}{8} +6\times \frac{5}{8} -8\times \frac{1}{8}

Ainsi :
E(X)=3,75E\left(X \right)=3,75

En moyenne, Adam gagnera 3,753,75 euros.
Question 3
On cherche à déterminer la valeur x0x_{0} de xx telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal.

Montrer que le problème posé revient à étudier les variations de la fonction ff définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ par : f(x)=18(−x3+2x2+15x)f\left(x\right)=\frac{1}{8} \left(-x^{3} +2x^{2} +15x\right)

Correction
Nous allons donner la loi de probabilité de XX, en ne donnant pas de valeurs particulières à xx. Il vient alors que :
Nous allons calculer l'espérance de XX, que l'on notera f(x)f\left(x\right). Il s'ensuit que :
f(x)=28x2+158x−18x3f\left(x\right)=\frac{2}{8} x^{2} +\frac{15}{8} x-\frac{1}{8} x^{3}
Enfin :
f(x)=18(−x3+2x2+15x)f\left(x\right)=\frac{1}{8} \left(-x^{3} +2x^{2} +15x\right)
Question 4

Étudier les variations de ff sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.

Correction
Trouver la valeur de xx pour laquelle le gain moyen est maximal revient donc à étudier l'existence d'un maximum pour la fonction ff.
ff est dérivable sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.
On a alors :
f′(x)=18(−3x2+4x+15)f'\left(x\right)=\frac{1}{8} \left(-3x^{2} +4x +15\right)
f′f' est une fonction trinôme du second degré. Nous allons déterminer son discriminant.
Alors a=−3a=-3; b=4b=4 et c=15c=15.
Or Δ=b2−4ac\Delta =b^{2} -4ac donc Δ=196\Delta =196.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.
  • x1=−b−Δ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x1=3x_{1} =3.
  • x2=−b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x2=−53x_{2} =-\frac{5}{3}.
Comme a=−3<0a=-3<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 5

Déterminer x0x_{0} . En déduire le gain moyen maximal de ce jeu.

Correction
ff admet donc un maximum en x0=3x_{0}=3.
Pour obtenir la valeur du maximum, il nous suffit de calculer f(3)f\left(3\right)
Ainsi :
f(3)=18(−33+2×32+15×3)f\left(3\right)=\frac{1}{8} \left(-3^{3} +2\times3^{2} +15\times3\right)
f(3)=4,5f\left(3\right)=4,5

Le gain moyen maximal du jeu est donc de 4,54,5 euros.