Variables aléatoires

Petits problèmes.... - Exercice 3

12 min
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Un site internet propose des forfaits mobiles très intéressants..
  • 20%20\% des forfaits sont vendues à 19,9919,99 euros.
  • 30%30\% des forfaits sont vendues à 9,999,99 euros.
  • Le reste des forfaits sont vendues à 4,994,99 euros.
    • On choisit, au hasard, un forfait proposé par le site internet. La variable aléatoire XX donne le prix du forfait choisi.
    Question 1

    Donner la loi de probabilité de XX.

    Correction
    La loi de probabilité de XX est donnée ci-dessous :
    Question 2

    Calculer l'espérance de XX et en donner une interprétation.

    Correction
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
    E(X)=19,99×0,2+9,99×0,3+4,99×0,5E\left(X \right)=19,99\times 0,2 +9,99\times 0,3 +4,99\times 0,5

    Ainsi :
    E(X)=9,49E\left(X \right)=9,49

    En moyenne, la dépense faite par un client pour acquérir un forfait s'élève à 9,499,49 euros.
    Question 3
    Le black friday arrive..
    Le site internet propose une réduction de 20%20\% sur l'ensemble des forfaits avec une participation de 11 euro pour l'activation du nouveau tarif.
    On note YY le nouveau prix de l'abonnement.

    Quelle relation lie XX et YY

    Correction
    On rappelle qu'une baisse de 20%20\% correspond à un coefficient multiplicateur 1−20100=0,81-\frac{20}{100}=0,8
    Il en résulte donc que :
    Y=0,8X+1Y=0,8X+1

    Question 4

    Durant le black friday, quelle est le prix moyen du forfait.

    Correction
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • Soit une variable aléatoire XX définie sur un univers Ω\Omega. Soient aa et bb deux nombres réels.
      On a : E(ax+b)=aE(x)+bE\left(ax+b\right)=aE\left(x\right)+b
    Ainsi :
    E(Y)=E(0,8X+1)E\left(Y\right)=E\left(0,8X+1\right)
    E(Y)=0,8E(X)+1E\left(Y\right)=0,8E\left(X\right)+1
    E(Y)=0,8×9,49+1E\left(Y\right)=0,8\times 9,49+1
    D'où :
    E(Y)=8,592E\left(Y\right)=8,592