P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3) P(X≥2)=0,22+0,41 Il vient alors que :
P(X≥2)=0,63
Exercice 2
Sur les 700 candidats pour un job d'été, on sait que :
55% des candidats sont des filles et 20% d'entre elles ont eu une réponse favorable.
Parmi les garçons seuls 40% d'entre eux ont eu une réponse favorable.
On note : F l'évènement "la personne est une fille". A l'évènement "la personne a eu une réponse favorable".
1
Dresser un tableau à double entrée modélisant la situation de l'exercice.
Correction
A l'aide de l'énoncé, on en déduit le tableau à double entrée ci-dessous :
On rencontre par hasard une personne postulant pour le job d'été, quelle est la probabilité que ce candidat soit :
2
Un garçon ayant une réponse favorable?
Correction
P(G∩A)=700126
P(G∩A)=509
3
Une fille ayant une réponse défavorable?
Correction
P(F∩A)=700308
P(F∩A)=2511
4
Une personne n'ayant pas eu de réponse favorable?
Correction
P(A)=700497
P(A)=10071
5
On rencontre par hasard un garçon qui a postulé au job d'été. Quelle est la probabilité qu’il ait reçu une réponse favorable?
Correction
Notons I l'évènement : "Sachant que le garçon a postulé au job d'été, quelle est la probabilité qu'il ait reçu une réponse favorable." Ainsi : P(I)=315126
P(I)=52
6
On rencontre par hasard une personne ayant reçu une réponse favorable. Quelle est la probabilité que ce soit une fille?
Correction
Notons J l'évènement : "Sachant que la personne a reçu une réponse favorable, qelle est la probabilité que ce soit une fille." Ainsi : P(J)=20377
P(J)=2911
Exercice 3
Un site internet propose des forfaits mobiles très intéressants..
20% des forfaits sont vendues à 19,99 euros.
30% des forfaits sont vendues à 9,99 euros.
Le reste des forfaits sont vendues à 4,99 euros.
On choisit, au hasard, un forfait proposé par le site internet. La variable aléatoire X donne le prix du forfait choisi.
1
Donner la loi de probabilité de X.
Correction
La loi de probabilité de X est donnée ci-dessous :
2
Calculer l'espérance de X et en donner une interprétation.
Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée E(X) définie par :
E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pn
E(X)=19,99×0,2+9,99×0,3+4,99×0,5
Ainsi :
E(X)=9,49
En moyenne, la dépense faite par un client pour acquérir un forfait s'élève à 9,49 euros.
Le black friday arrive.. Le site internet propose une réduction de 20% sur l'ensemble des forfaits avec une participation de 1 euro pour l'activation du nouveau tarif. On note Y le nouveau prix de l'abonnement.
3
Quelle relation lie X et Y
Correction
On rappelle qu'une baisse de 20% correspond à un coefficient multiplicateur 1−10020=0,8 Il en résulte donc que :
Y=0,8X+1
4
Durant le black friday, quelle est le prix moyen du forfait.
Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée E(X) définie par :
Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω. Soient a et b deux nombres réels. On a : E(ax+b)=aE(x)+b
Ainsi : E(Y)=E(0,8X+1) E(Y)=0,8E(X)+1 E(Y)=0,8×9,49+1 D'où :
E(Y)=8,592
Exercice 4
Lors d'une expérience, on connaît les probabilités de deux événements A et B : P(A)=0,7 ; P(B)=0,4. Nous savons également P(A∩B)=0,5.
1
Traduisez les informations à l'aide d'un tableau à double entrée.
Correction
2
Calculer P(A∩B)
Correction
D'après le tableau, nous pouvons lire que
P(A∩B)=0,2
.
3
Calculer P(A∪B)
Correction
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Il vient alors que : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) équivaut successivement à : P(A∪B)=0,7+0,4−0,2 D'où :
P(A∪B)=0,9
4
Calculer P(A∩B)
Correction
D'après le tableau, nous pouvons lire que
P(A∩B)=0,1
.
Exercice 5
Adam dispose, dans sa collection, de 80 cartes de basket NBA dont 81 sont écrites en Anglais, les autres en Français ou en Espagnol. Il y a cinq fois plus de cartes françaises qu'anglaises. Il décide de proposer un jeu à la fête de son école. La personne doit tirer une carte au hasard : – si la carte tirée est en espagnol, le joueur perd x2 pièces de 1 euro, – si la carte tirée est en Français, le joueur perd 3x pièces de 1 euro, – si la carte tirée est en Anglais, Adam donne , au joueur, x3 pièces de 1 euro, Bien entendu, x≥0. On note X la variable aléatoire correspondant au gain obtenu par Adam à ce jeu.
Pour les questions 1 et 2, on suppose que x=2.
1
Déterminer la loi de probabilité de X.
Correction
Nous savons qu'il y a 81 de cartes anglais. Il y a cinq fois plus de cartes françaises qu'anglaises. Cela signifie que l'on a 85 de cartes françaises. Finalement, il y a 82 de cartes espagnoles. La loi de probabilité de X est donnée ci-dessous :
2
Quel est le gain moyen de ce jeu ? Quelle interprétation peut-on en faire ?
Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée E(X) définie par :
E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pn
E(X)=4×82+6×85−8×81
Ainsi :
E(X)=3,75
En moyenne, Adam gagnera 3,75 euros.
On cherche à déterminer la valeur x0 de x telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal.
3
Montrer que le problème posé revient à étudier les variations de la fonction f définie sur [0;+∞[ par : f(x)=81(−x3+2x2+15x)
Correction
Nous allons donner la loi de probabilité de X, en ne donnant pas de valeurs particulières à x. Il vient alors que :
Nous allons calculer l'espérance de X, que l'on notera f(x). Il s'ensuit que : f(x)=82x2+815x−81x3 Enfin :
f(x)=81(−x3+2x2+15x)
4
Étudier les variations de f sur [0;+∞[.
Correction
Trouver la valeur de x pour laquelle le gain moyen est maximal revient donc à étudier l'existence d'un maximum pour la fonction f. f est dérivable sur [0;+∞[. On a alors : f′(x)=81(−3x2+4x+15) f′ est une fonction trinôme du second degré. Nous allons déterminer son discriminant. Alors a=−3; b=4 et c=15. Or Δ=b2−4ac donc Δ=196. Il existe donc deux racines réelles distinctes.
x1=2a−b−Δ ce qui donne x1=3.
x2=2a−b+Δ ce qui donne x2=−35.
Comme a=−3<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. On en déduit le tableau de variation suivant :
5
Déterminer x0 . En déduire le gain moyen maximal de ce jeu.
Correction
f admet donc un maximum en x0=3. Pour obtenir la valeur du maximum, il nous suffit de calculer f(3) Ainsi : f(3)=81(−33+2×32+15×3)
f(3)=4,5
Le gain moyen maximal du jeu est donc de 4,5 euros.
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