Variables aléatoires

Petits problèmes....

Exercice 1

Soit

X

une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

Justifier que le tableau ci-dessus représente bien une loi de probabilité.

Correction

Déterminer les probabilités suivantes :

$P\left(X=2\right)$

Correction

$P\left(X<3\right)$

Correction

$P\left(X\ge2\right)$

Correction

Exercice 2

Sur les

700

candidats pour un job d'été, on sait que :

55\%

des candidats sont des filles et

20\%

d'entre elles ont eu une réponse favorable.

Parmi les garçons seuls

40\%

d'entre eux ont eu une réponse favorable.

On note :

F

l'évènement "la personne est une fille".

A

l'évènement "la personne a eu une réponse favorable".

Dresser un tableau à double entrée modélisant la situation de l'exercice.

Correction

On rencontre par hasard une personne postulant pour le job d'été, quelle est la probabilité que ce candidat soit :

Un garçon ayant une réponse favorable?

Correction

Une fille ayant une réponse défavorable?

Correction

Une personne n'ayant pas eu de réponse favorable?

Correction

On rencontre par hasard un garçon qui a postulé au job d'été. Quelle est la probabilité qu’il ait reçu une réponse favorable?

Correction

On rencontre par hasard une personne ayant reçu une réponse favorable. Quelle est la probabilité que ce soit une fille?

Correction

Exercice 3

Un site internet propose des forfaits mobiles très intéressants..

20\%

des forfaits sont vendues à

19,99

euros.

30\%

des forfaits sont vendues à

9,99

euros.

Le reste des forfaits sont vendues à

4,99

euros.

On choisit, au hasard, un forfait proposé par le site internet. La variable aléatoire

X

donne le prix du forfait choisi.

Donner la loi de probabilité de $X$ .

Correction

Calculer l'espérance de $X$ et en donner une interprétation.

Correction

Le black friday arrive..
Le site internet propose une réduction de

20\%

sur l'ensemble des forfaits avec une participation de

1

euro pour l'activation du nouveau tarif.
On note

Y

le nouveau prix de l'abonnement.

Quelle relation lie $X$ et $Y$

Correction

Durant le black friday, quelle est le prix moyen du forfait.

Correction

Exercice 4

Lors d'une expérience, on connaît les probabilités de deux événements

A

B

P\left(A\right)=0,7

;

P\left(B\right)=0,4

. Nous savons également

P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,5

Traduisez les informations à l'aide d'un tableau à double entrée.

Correction

Calculer $P\left(A\cap B\right)$

Correction

Calculer $P\left(A\cup B\right)$

Correction

Calculer $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)$

Correction

Exercice 5

Adam dispose, dans sa collection, de

80

cartes de basket NBA dont

\frac{1}{8}

sont écrites en Anglais, les autres en Français ou en Espagnol. Il y a cinq fois plus de cartes françaises qu'anglaises.
Il décide de proposer un jeu à la fête de son école. La personne doit tirer une carte au hasard :
– si la carte tirée est en espagnol, le joueur perd

x^{2}

pièces de

1

euro,
– si la carte tirée est en Français, le joueur perd

3x

pièces de

1

euro,
– si la carte tirée est en Anglais, Adam donne , au joueur,

x^{3}

pièces de

1

euro,
Bien entendu,

x\ge0

.
On note

X

la variable aléatoire correspondant au gain obtenu par Adam à ce jeu.

Pour les questions

1

2

, on suppose que

x=2

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

Correction

Quel est le gain moyen de ce jeu ? Quelle interprétation peut-on en faire ?

Correction

On cherche à déterminer la valeur

x_{0}

x

telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal.

Montrer que le problème posé revient à étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=\frac{1}{8} \left(-x^{3} +2x^{2} +15x\right)$

Correction

Étudier les variations de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$ .

Correction

Déterminer $x_{0}$ . En déduire le gain moyen maximal de ce jeu.

Correction

Petits problèmes....

Exercice 1

Justifier que le tableau ci-dessus représente bien une loi de probabilité.

P(X=2)P\left(X=2\right)P(X=2)

P(X<3)P\left(X<3\right)P(X<3)

P(X≥2)P\left(X\ge2\right)P(X≥2)

Exercice 2

Dresser un tableau à double entrée modélisant la situation de l'exercice.

Un garçon ayant une réponse favorable?

Une fille ayant une réponse défavorable?

Une personne n'ayant pas eu de réponse favorable?

On rencontre par hasard un garçon qui a postulé au job d'été. Quelle est la probabilité qu’il ait reçu une réponse favorable?

On rencontre par hasard une personne ayant reçu une réponse favorable. Quelle est la probabilité que ce soit une fille?

Exercice 3

Donner la loi de probabilité de XXX.

Calculer l'espérance de XXX et en donner une interprétation.

Quelle relation lie XXX et YYY

Durant le black friday, quelle est le prix moyen du forfait.

Exercice 4

Traduisez les informations à l'aide d'un tableau à double entrée.

Calculer P(A∩B)P\left(A\cap B\right)P(A∩B)

Calculer P(A∪B)P\left(A\cup B\right)P(A∪B)

Calculer P(A‾∩B‾)P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)P(A∩B)

Exercice 5

Déterminer la loi de probabilité de XXX.

Quel est le gain moyen de ce jeu ? Quelle interprétation peut-on en faire ?

Montrer que le problème posé revient à étudier les variations de la fonction fff définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[[0;+∞[ par : f(x)=18(−x3+2x2+15x)f\left(x\right)=\frac{1}{8} \left(-x^{3} +2x^{2} +15x\right)f(x)=81​(−x3+2x2+15x)

Étudier les variations de fff sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[[0;+∞[.

Déterminer x0x_{0}x0​ . En déduire le gain moyen maximal de ce jeu.

$P\left(X=2\right)$

$P\left(X<3\right)$

$P\left(X\ge2\right)$

Donner la loi de probabilité de $X$ .

Calculer l'espérance de $X$ et en donner une interprétation.

Quelle relation lie $X$ et $Y$

Calculer $P\left(A\cap B\right)$

Calculer $P\left(A\cup B\right)$

Calculer $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)$

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

Montrer que le problème posé revient à étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f\left(x\right)=\frac{1}{8} \left(-x^{3} +2x^{2} +15x\right)$

Étudier les variations de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$ .

Déterminer $x_{0}$ . En déduire le gain moyen maximal de ce jeu.