Variables aléatoires

Loi de probabilités - Exercice 2

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La loi de probabilité d'une variable aléatoire XX associée à un jeu de hasard est donnée dans le tableau suivant : (Les valeurs de XX sont exprimées en euros).
Question 1

Calculer la valeur de aa.

Correction
  • Le tableau ci-dessous représente une loi de probabilité si la somme des probabilités est égale à 11.
Il vient alors que :
p(X=−4)+p(X=−1)+p(X=0)+p(X=6)+p(X=9)+p(X=15)=1p\left(X=-4\right)+p\left(X=-1\right)+p\left(X=0\right)+p\left(X=6\right)+p\left(X=9\right)+p\left(X=15\right)=1 équivaut successivement à :
0,25+0,15+0,25+0,1+a+0,05=10,25+0,15+0,25+0,1+a+0,05=1
a=1−0,25−0,15−0,25−0,1−0,05a=1-0,25-0,15-0,25-0,1-0,05
a=0,2a=0,2

Finalement, la loi de probabilité est :
Question 2

Calculer l'espérance de la variable XX.

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
E(X)=−4×0,25−1×0,15+0×0,25+6×0,1+9×0,2+15×0,05E\left(X\right)=-4\times 0,25-1\times 0,15+0\times 0,25+6\times 0,1+9\times 0,2+15\times 0,05
E(X)=2E\left(X\right)=2

En moyenne, le gain associé à ce jeu serait de 22 euros.