Linéarité de l'espérance - Exercice 4

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À une kermesse, deux stands proposent chacun un jeu. On note XX le gain algébrique, en euros, d'une partie au stand A et YY celui d'une partie au stand B. Leurs lois sont données ci-dessous.
Question 1

Calculer E(X)E\left(X\right) et E(Y)E\left(Y\right).

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
E(X)=(−2)×0,5+1×0,3+6×0,2E\left(X\right)=\left(-2\right)\times 0{,}5+1\times 0{,}3+6\times 0{,}2
E(X)=−1+0,3+1,2E\left(X\right)=-1+0{,}3+1{,}2
D'où :
E(X)=0,5E\left(X\right)=0{,}5

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
E(Y)=(−1)×0,6+3×0,4E\left(Y\right)=\left(-1\right)\times 0{,}6+3\times 0{,}4
E(Y)=−0,6+1,2E\left(Y\right)=-0{,}6+1{,}2
D'où :
E(Y)=0,6E\left(Y\right)=0{,}6
Question 2

Un enfant joue une partie à chaque stand. On note T=X+YT=X+Y son gain total. Calculer E(T)E\left(T\right) et l'interpréter.

Correction
  • Pour toute variable aléatoire XX et pour tous réels aa et bb : E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b.
  • Pour deux variables aléatoires XX et YY définies sur le même univers : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right).
E(T)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(T\right)=E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
E(T)=0,5+0,6E\left(T\right)=0{,}5+0{,}6
D'où :
E(T)=1,1E\left(T\right)=1{,}1

En moyenne, un enfant qui joue une partie à chaque stand gagne 1,101{,}10 euro. Ce calcul n'a pas besoin de la loi de TT.
Question 3

Un autre enfant joue trois parties au stand A et deux parties au stand B. Quel est son gain moyen ?

Correction
  • Pour toute variable aléatoire XX et pour tous réels aa et bb : E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b.
  • Pour deux variables aléatoires XX et YY définies sur le même univers : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right).
On note X1X_{1}, X2X_{2}, X3X_{3} ses gains aux trois parties du stand A et Y1Y_{1}, Y2Y_{2} ses gains aux deux parties du stand B. Chaque XkX_{k} a la même loi que XX et chaque YkY_{k} la même loi que YY.
Son gain total est X1+X2+X3+Y1+Y2X_{1}+X_{2}+X_{3}+Y_{1}+Y_{2} et, par linéarité :
E(X1+X2+X3+Y1+Y2)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(Y1)+E(Y2)E\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+Y_{1}+Y_{2}\right)=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)+E\left(X_{3}\right)+E\left(Y_{1}\right)+E\left(Y_{2}\right)
E(X1+X2+X3+Y1+Y2)=3×0,5+2×0,6E\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+Y_{1}+Y_{2}\right)=3\times 0{,}5+2\times 0{,}6
D'où :
son gain moyen est de 2,72{,}7 euros

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