Linéarité de l'espérance - Exercice 3

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On lance deux dés équilibrés à six faces. On note XX le numéro du premier dé, YY celui du second dé et S=X+YS=X+Y la somme des deux numéros.
Question 1

Calculer E(X)E\left(X\right) et E(Y)E\left(Y\right).

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
XX prend les valeurs 11, 22, 33, 44, 55 et 66, chacune avec la probabilité 16\dfrac{1}{6}.
E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16E\left(X\right)=1\times\dfrac{1}{6}+2\times\dfrac{1}{6}+3\times\dfrac{1}{6}+4\times\dfrac{1}{6}+5\times\dfrac{1}{6}+6\times\dfrac{1}{6}
E(X)=216E\left(X\right)=\dfrac{21}{6}
D'où :
E(X)=3,5E\left(X\right)=3{,}5

Le second dé a la même loi, donc :
E(Y)=3,5E\left(Y\right)=3{,}5
Question 2

En déduire E(S)E\left(S\right) sans calculer la loi de SS.

Correction
  • Pour toute variable aléatoire XX et pour tous réels aa et bb : E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b.
  • Pour deux variables aléatoires XX et YY définies sur le même univers : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right).
XX et YY sont définies sur le même univers (les 3636 couples de numéros), donc :
E(S)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(S\right)=E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
E(S)=3,5+3,5E\left(S\right)=3{,}5+3{,}5
D'où :
E(S)=7E\left(S\right)=7
Question 3

Vérifier ce résultat à l'aide de la loi de SS donnée ci-dessous.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(S)=2×136+3×236+4×336+5×436+6×536+7×636+8×536+9×436+10×336+11×236+12×136E\left(S\right)=2\times\dfrac{1}{36}+3\times\dfrac{2}{36}+4\times\dfrac{3}{36}+5\times\dfrac{4}{36}+6\times\dfrac{5}{36}+7\times\dfrac{6}{36}+8\times\dfrac{5}{36}+9\times\dfrac{4}{36}+10\times\dfrac{3}{36}+11\times\dfrac{2}{36}+12\times\dfrac{1}{36}
E(S)=2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+1236E\left(S\right)=\dfrac{2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12}{36}
E(S)=25236E\left(S\right)=\dfrac{252}{36}
D'où :
E(S)=7E\left(S\right)=7

On retrouve bien E(S)=7E\left(S\right)=7 : la linéarité évite ce long calcul.
Question 4

À une fête, on paie mm euros pour lancer les deux dés, puis on reçoit SS euros. Calculer l'espérance du gain G=S−mG=S-m en fonction de mm, puis déterminer mm pour que le jeu soit équitable.

Correction
  • Pour toute variable aléatoire XX et pour tous réels aa et bb : E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b.
  • Pour deux variables aléatoires XX et YY définies sur le même univers : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right).
  • Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain du joueur est nulle : E(X)=0E\left(X\right)=0. Il est favorable au joueur lorsque E(X)>0E\left(X\right)\gt 0 et défavorable lorsque E(X)<0E\left(X\right)\lt 0.
E(G)=E(S−m)=E(S)−mE\left(G\right)=E\left(S-m\right)=E\left(S\right)-m
D'où :
E(G)=7−mE\left(G\right)=7-m

Le jeu est équitable lorsque E(G)=0E\left(G\right)=0, ce qui équivaut successivement à :
7−m=07-m=0
m=7m=7
Ainsi :
le jeu est équitable si la mise est de 77 euros

Avec une mise de 88 euros, par exemple, l'espérance du gain vaut 7−8=−17-8=-1 : le jeu est défavorable au joueur.

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