Linéarité de l'espérance - Exercice 2

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Un artisan fabrique des tabourets. On note XX le nombre de tabourets fabriqués en une journée ; sa loi de probabilité est donnée ci-dessous.
Chaque tabouret est vendu 4545 euros et l'atelier coûte 6060 euros par jour. On note BB le bénéfice de la journée, en euros : B=45X−60B=45X-60.
Question 1

Calculer E(X)E\left(X\right).

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}
E(X)=2×0,1+3×0,3+4×0,4+5×0,2E\left(X\right)=2\times 0{,}1+3\times 0{,}3+4\times 0{,}4+5\times 0{,}2
E(X)=0,2+0,9+1,6+1E\left(X\right)=0{,}2+0{,}9+1{,}6+1
D'où :
E(X)=3,7E\left(X\right)=3{,}7

En moyenne, l'artisan fabrique 3,73{,}7 tabourets par jour.
Question 2

Déterminer la loi de probabilité de BB, puis calculer E(B)E\left(B\right) à l'aide de cette loi.

Correction
On calcule le bénéfice pour chaque valeur de XX :
  • si X=2X=2 : B=45×2−60=30B=45\times 2-60=30 ;
  • si X=3X=3 : B=45×3−60=75B=45\times 3-60=75 ;
  • si X=4X=4 : B=45×4−60=120B=45\times 4-60=120 ;
  • si X=5X=5 : B=45×5−60=165B=45\times 5-60=165.
Les probabilités sont celles de XX. On peut donc dresser la loi de probabilité de BB :
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(B)=30×0,1+75×0,3+120×0,4+165×0,2E\left(B\right)=30\times 0{,}1+75\times 0{,}3+120\times 0{,}4+165\times 0{,}2
E(B)=3+22,5+48+33E\left(B\right)=3+22{,}5+48+33
D'où :
E(B)=106,5E\left(B\right)=106{,}5
Question 3

Retrouver E(B)E\left(B\right) à l'aide de la linéarité de l'espérance.

Correction
  • Pour toute variable aléatoire XX et pour tous réels aa et bb : E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b.
  • Pour deux variables aléatoires XX et YY définies sur le même univers : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right).
E(B)=E(45X−60)E\left(B\right)=E\left(45X-60\right)
E(B)=45×E(X)−60E\left(B\right)=45\times E\left(X\right)-60
E(B)=45×3,7−60E\left(B\right)=45\times 3{,}7-60
E(B)=166,5−60E\left(B\right)=166{,}5-60
D'où :
E(B)=106,5E\left(B\right)=106{,}5

On retrouve bien le résultat de la question précédente, sans avoir besoin de la loi de BB. En moyenne, l'artisan gagne 106,50106{,}50 euros par jour.
Question 4

L'artisan veut un bénéfice moyen d'au moins 130130 euros par jour, sans changer ses coûts. À quel prix minimal, au centime près, doit-il vendre un tabouret ?

Correction
On note pp le prix de vente d'un tabouret, en euros. Le bénéfice est alors pX−60pX-60 et, par linéarité :
E(pX−60)=p×E(X)−60=3,7p−60E\left(pX-60\right)=p\times E\left(X\right)-60=3{,}7p-60
On résout donc l'inéquation 3,7p−60⩾1303{,}7p-60\geqslant 130, qui équivaut successivement à :
3,7p⩾1903{,}7p\geqslant 190
p⩾1903,7p\geqslant\dfrac{190}{3{,}7}
Or 1903,7≈51,351\dfrac{190}{3{,}7}\approx 51{,}351 : il faut arrondir au centime supérieur, sinon le bénéfice moyen serait un peu inférieur à 130130 euros.
Ainsi :
l'artisan doit vendre chaque tabouret au moins 51,3651{,}36 euros

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