Linéarité de l'espérance - Exercice 1

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Soit XX une variable aléatoire qui prend les valeurs x1x_{1}, x2x_{2}, …, xnx_{n} avec les probabilités p1p_{1}, p2p_{2}, …, pnp_{n}, et soient aa et bb deux nombres réels.
Question 1

Quelles valeurs prend la variable aléatoire aX+baX+b, et avec quelles probabilités ?

Correction
Lorsque XX prend la valeur xix_{i}, la variable aléatoire aX+baX+b prend la valeur axi+bax_{i}+b.
Elle prend donc les valeurs ax1+bax_{1}+b, ax2+bax_{2}+b, …, axn+bax_{n}+b, avec les mêmes probabilités p1p_{1}, p2p_{2}, …, pnp_{n}.
Question 2

Démontrer que E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(aX+b)=(ax1+b)×p1+(ax2+b)×p2+…+(axn+b)×pnE\left(aX+b\right)=\left(ax_{1}+b\right)\times p_{1}+\left(ax_{2}+b\right)\times p_{2}+\ldots+\left(ax_{n}+b\right)\times p_{n} équivaut successivement à :
E(aX+b)=a(x1×p1+x2×p2+…+xn×pn)+b(p1+p2+…+pn)E\left(aX+b\right)=a\left(x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}\right)+b\left(p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{n}\right)
E(aX+b)=a×E(X)+b×1E\left(aX+b\right)=a\times E\left(X\right)+b\times 1 car la somme des probabilités vaut 11.
D'où :
E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b

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