La formule de König-Huygens - Exercice 4

25 min

La loi de probabilité d'une variable aléatoire

X

est donnée ci-dessous.

Pour tout réel

x

, on pose

f\left(x\right)=E\left(\left(X-x\right)^{2}\right)

, c'est-à-dire :

f\left(x\right)=0{,}2\times\left(1-x\right)^{2}+0{,}5\times\left(2-x\right)^{2}+0{,}3\times\left(6-x\right)^{2}

Question 1

Calculer $E\left(X\right)$ , $E\left(X^{2}\right)$ et $V\left(X\right)$ .

Correction

On appelle l'espérance mathématique de la variable

X

, la quantité notée

E\left(X\right)

définie par :

$E\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}$

Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.

Formule de König-Huygens :

$V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}$ où $E\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\times p_{i}=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}$ .

E\left(X\right)=1\times 0{,}2+2\times 0{,}5+6\times 0{,}3

E\left(X\right)=0{,}2+1+1{,}8

D'où :

E\left(X\right)=3

E\left(X^{2}\right)=1^{2}\times 0{,}2+2^{2}\times 0{,}5+6^{2}\times 0{,}3

E\left(X^{2}\right)=0{,}2+2+10{,}8

D'où :

E\left(X^{2}\right)=13

V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}

V\left(X\right)=13-3^{2}

D'où :

V\left(X\right)=4

Question 2

Montrer que, pour tout réel $x$ , $f\left(x\right)=x^{2}-6x+13$ .

Correction

On développe chaque carré :

f\left(x\right)=0{,}2\left(x^{2}-2x+1\right)+0{,}5\left(x^{2}-4x+4\right)+0{,}3\left(x^{2}-12x+36\right)

f\left(x\right)=0{,}2x^{2}-0{,}4x+0{,}2+0{,}5x^{2}-2x+2+0{,}3x^{2}-3{,}6x+10{,}8

f\left(x\right)=\left(0{,}2+0{,}5+0{,}3\right)x^{2}-\left(0{,}4+2+3{,}6\right)x+\left(0{,}2+2+10{,}8\right)

D'où :

f\left(x\right)=x^{2}-6x+13

Remarque : on retrouve

f\left(x\right)=x^{2}-2E\left(X\right)x+E\left(X^{2}\right)

Question 3

Écrire $f\left(x\right)$ sous forme canonique. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $f\left(x\right)$ est minimale, et ce minimum.

Correction

La forme canonique d'un trinôme du second degré est : $f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^{2}+\beta$ où $S\left(\alpha;\beta\right)$ correspond au sommet de la parabole, avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=f\left(\alpha\right)$ .
Si $a\gt 0$ , la parabole est tournée vers le haut et $\beta$ est un minimum ; si $a\lt 0$ , elle est tournée vers le bas et $\beta$ est un maximum.

Ici

a=1

b=-6

c=13

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3

\beta=f\left(3\right)=3^{2}-6\times 3+13=4

.
D'où :

f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}+4

a=1\gt 0

, la parabole est tournée vers le haut et

S\left(3;4\right)

est le sommet de la parabole (plus précisément un minimum).

Ainsi :

f\left(x\right)

est minimale pour

x=3

, et ce minimum vaut

4

Question 4

Interpréter : comparer la valeur trouvée à $E\left(X\right)$ et le minimum à $V\left(X\right)$ .

Correction

Le minimum est atteint en

x=3=E\left(X\right)

et il vaut

4=V\left(X\right)

f\left(x\right)

mesure l'écart quadratique moyen entre

X

et le nombre

x

. Il est le plus petit lorsque

x

est l'espérance : l'espérance est le nombre « le plus proche » de $X$ en moyenne, et cet écart minimal est la variance.

Question 5

Pour aller plus loin : démontrer que, pour toute variable aléatoire $X$ et pour tout réel $x$ , $f\left(x\right)=\left(x-E\left(X\right)\right)^{2}+V\left(X\right)$ .

Correction

Pour toute variable aléatoire $X$ et pour tous réels $a$ et $b$ : $E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b$ .
Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même univers : $E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$ .

Formule de König-Huygens :

$V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}$ où $E\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\times p_{i}=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}$ .

On a

\left(X-x\right)^{2}=X^{2}-2xX+x^{2}

. Par linéarité de l'espérance (

x

est un nombre fixé) :

f\left(x\right)=E\left(X^{2}\right)-2xE\left(X\right)+x^{2}

On fait apparaître un carré en ajoutant et en retranchant

\left(E\left(X\right)\right)^{2}

f\left(x\right)=x^{2}-2xE\left(X\right)+\left(E\left(X\right)\right)^{2}+E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}

f\left(x\right)=\left(x-E\left(X\right)\right)^{2}+E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}

D'où, avec la formule de König-Huygens :

f\left(x\right)=\left(x-E\left(X\right)\right)^{2}+V\left(X\right)

Un carré est toujours positif ou nul :

f

est minimale en

x=E\left(X\right)

et son minimum est

V\left(X\right)

, comme dans l'exemple.

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La formule de König-Huygens - Exercice 4

Calculer E(X)E\left(X\right)E(X), E(X2)E\left(X^{2}\right)E(X2) et V(X)V\left(X\right)V(X).

Montrer que, pour tout réel xxx, f(x)=x2−6x+13f\left(x\right)=x^{2}-6x+13f(x)=x2−6x+13.

Écrire f(x)f\left(x\right)f(x) sous forme canonique. En déduire la valeur de xxx pour laquelle f(x)f\left(x\right)f(x) est minimale, et ce minimum.

Interpréter : comparer la valeur trouvée à E(X)E\left(X\right)E(X) et le minimum à V(X)V\left(X\right)V(X).

Pour aller plus loin : démontrer que, pour toute variable aléatoire XXX et pour tout réel xxx, f(x)=(x−E(X))2+V(X)f\left(x\right)=\left(x-E\left(X\right)\right)^{2}+V\left(X\right)f(x)=(x−E(X))2+V(X).

Calculer $E\left(X\right)$ , $E\left(X^{2}\right)$ et $V\left(X\right)$ .

Montrer que, pour tout réel $x$ , $f\left(x\right)=x^{2}-6x+13$ .

Écrire $f\left(x\right)$ sous forme canonique. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $f\left(x\right)$ est minimale, et ce minimum.

Interpréter : comparer la valeur trouvée à $E\left(X\right)$ et le minimum à $V\left(X\right)$ .

Pour aller plus loin : démontrer que, pour toute variable aléatoire $X$ et pour tout réel $x$ , $f\left(x\right)=\left(x-E\left(X\right)\right)^{2}+V\left(X\right)$ .