La formule de König-Huygens - Exercice 3

20 min
35
Une variable aléatoire XX prend les valeurs 00, 22 et aa, où aa est un réel strictement supérieur à 22. Sa loi est donnée ci-dessous et on sait que E(X)=2E\left(X\right)=2.
Question 1

Déterminer la valeur de aa.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=0×0,5+2×0,3+a×0,2=0,6+0,2aE\left(X\right)=0\times 0{,}5+2\times 0{,}3+a\times 0{,}2=0{,}6+0{,}2a
E(X)=2E\left(X\right)=2 équivaut successivement à :
0,6+0,2a=20{,}6+0{,}2a=2
0,2a=1,40{,}2a=1{,}4
a=1,40,2a=\dfrac{1{,}4}{0{,}2}
D'où :
a=7a=7
Question 2

Calculer la variance de XX à l'aide de la formule de König-Huygens, puis son écart type arrondi au centième.

Correction
Formule de König-Huygens :
  • V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2} où E(X2)=∑xi2×pi=x12×p1+x22×p2+…+xn2×pnE\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\times p_{i}=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}.
E(X2)=02×0,5+22×0,3+72×0,2E\left(X^{2}\right)=0^{2}\times 0{,}5+2^{2}\times 0{,}3+7^{2}\times 0{,}2
E(X2)=0+1,2+9,8E\left(X^{2}\right)=0+1{,}2+9{,}8
D'où :
E(X2)=11E\left(X^{2}\right)=11

V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}
V(X)=11−22V\left(X\right)=11-2^{2}
D'où :
V(X)=7V\left(X\right)=7

σ(X)=V(X)=7\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{7}
D'où :
σ(X)≈2,65\sigma\left(X\right)\approx 2{,}65

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.