La formule de König-Huygens - Exercice 1

15 min
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Soit XX une variable aléatoire qui prend les valeurs x1x_{1}, x2x_{2}, …, xnx_{n} avec les probabilités p1p_{1}, p2p_{2}, …, pnp_{n}. On note μ=E(X)\mu=E\left(X\right).
On veut démontrer la formule de König-Huygens : V(X)=E(X2)−μ2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\mu^{2}, où E(X2)=x12×p1+x22×p2+…+xn2×pnE\left(X^{2}\right)=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}.
Question 1

Développer (xi−μ)2\left(x_{i}-\mu\right)^{2}.

Correction
On utilise l'identité remarquable (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} :
(xi−μ)2=xi2−2μxi+μ2\left(x_{i}-\mu\right)^{2}=x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu^{2}
Question 2

En déduire que V(X)=(x12p1+…+xn2pn)−2μ(x1p1+…+xnpn)+μ2(p1+…+pn)V\left(X\right)=\left(x_{1}^{2}p_{1}+\ldots+x_{n}^{2}p_{n}\right)-2\mu\left(x_{1}p_{1}+\ldots+x_{n}p_{n}\right)+\mu^{2}\left(p_{1}+\ldots+p_{n}\right).

Correction
La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculé la variance VV. Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
  • V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i}\times\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}
  • σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
V(X)=p1(x1−μ)2+p2(x2−μ)2+…+pn(xn−μ)2V\left(X\right)=p_{1}\left(x_{1}-\mu\right)^{2}+p_{2}\left(x_{2}-\mu\right)^{2}+\ldots+p_{n}\left(x_{n}-\mu\right)^{2} équivaut successivement à :
V(X)=p1(x12−2μx1+μ2)+…+pn(xn2−2μxn+μ2)V\left(X\right)=p_{1}\left(x_{1}^{2}-2\mu x_{1}+\mu^{2}\right)+\ldots+p_{n}\left(x_{n}^{2}-2\mu x_{n}+\mu^{2}\right)
On regroupe les termes en xi2x_{i}^{2}, puis les termes en xix_{i}, puis les termes en μ2\mu^{2} :
V(X)=(x12p1+…+xn2pn)−2μ(x1p1+…+xnpn)+μ2(p1+…+pn)V\left(X\right)=\left(x_{1}^{2}p_{1}+\ldots+x_{n}^{2}p_{n}\right)-2\mu\left(x_{1}p_{1}+\ldots+x_{n}p_{n}\right)+\mu^{2}\left(p_{1}+\ldots+p_{n}\right)
Question 3

Conclure.

Correction
Dans l'égalité précédente :
  • la première parenthèse vaut E(X2)E\left(X^{2}\right) ;
  • la deuxième parenthèse vaut E(X)=μE\left(X\right)=\mu ;
  • la troisième parenthèse vaut 11, car c'est la somme des probabilités.
Il vient alors que :
V(X)=E(X2)−2μ×μ+μ2×1V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-2\mu\times\mu+\mu^{2}\times 1
V(X)=E(X2)−2μ2+μ2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-2\mu^{2}+\mu^{2}
D'où :
V(X)=E(X2)−μ2=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\mu^{2}=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}

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