Exercices types : $$4$$^ème partie - Exercice 2

D'après l'énoncé, $$P\left(A\right)=0{,}1$$ donc $$P\left(\overline{A}\right)=0{,}9$$.
Les circuits tombent en panne de manière indépendante : la panne de $$K_1$$ ne change pas la probabilité de panne de $$K_2$$. Donc :
$$P_{A}\left(B\right)=P_{\overline{A}}\left(B\right)=P\left(B\right)=0{,}15$$ et $$P_{A}\left(\overline{B}\right)=P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0{,}85$$.
L'arbre pondéré représentant la situation est :

Il s'agit de déterminer la probabilité de l'évènement $$A\cap B$$. Les évènements $$A$$ et $$B$$ étant indépendants, il vient que :
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$$
$$P\left(A\cap B\right)=0{,}1\times 0{,}15$$
D'où :

Un seul circuit tombe en panne lorsque $$K_1$$ tombe en panne mais pas $$K_2$$, ou $$K_2$$ tombe en panne mais pas $$K_1$$. Ce sont les chemins $$A\cap\overline{B}$$ et $$\overline{A}\cap B$$, qui sont incompatibles. Il en résulte que :
$$P\left(A\cap\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)=0{,}1\times 0{,}85+0{,}9\times 0{,}15$$
$$P\left(A\cap\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)=0{,}085+0{,}135=0{,}22$$
Ainsi :

Il s'agit de déterminer la probabilité de l'évènement $$\overline{A}\cap\overline{B}$$ : aucun des deux circuits ne tombe en panne. Ainsi :
$$P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=0{,}9\times 0{,}85$$
D'où :

Le robot ne s'arrête que si les deux circuits tombent en panne : l'évènement « le robot fonctionne » est le contraire de $$A\cap B$$. Ainsi :
$$P=1-P\left(A\cap B\right)$$
$$P=1-0{,}015$$
D'où :
Le montage en parallèle est bien plus fiable que le montage en série.

$$C$$ prend les valeurs suivantes $$0$$, $$40$$ et $$60$$ donc $$C\in\left\{0;40;60\right\}$$. D'après les questions précédentes :

• $$P\left(C=0\right)=P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=0{,}765$$
• $$P\left(C=40\right)=0{,}22$$
• $$P\left(C=60\right)=P\left(A\cap B\right)=0{,}015$$

Vérification : $$0{,}765+0{,}22+0{,}015=1$$.
On peut donc dresser la loi de probabilité de $$C$$ :

$$E\left(C\right)=\sum x_{i}\times p_{i}$$
$$E\left(C\right)=0\times 0{,}765+40\times 0{,}22+60\times 0{,}015$$
$$E\left(C\right)=0+8{,}8+0{,}9$$
D'où :
En moyenne, la réparation d'un robot coûte $$9{,}70$$ euros par an. Pour $$2\,000$$ robots : $$2\,000\times 9{,}7=19\,400$$.
Ainsi :

Chaque circuit fonctionne toute l'année avec la probabilité $$1-p$$.
Le robot (montage en série) fonctionne si les deux circuits fonctionnent ; comme ils sont indépendants, on multiplie les probabilités :
$$P=\left(1-p\right)\times\left(1-p\right)$$
D'où :

$$\left(1-p\right)^{2}\geqslant 0{,}81$$ équivaut successivement à :
$$1-2p+p^{2}\geqslant 0{,}81$$
$$p^{2}-2p+1-0{,}81\geqslant 0$$
Ainsi :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$p^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$p$$ d'où $$b=-2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=0{,}19$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 0{,}19$$
$$\Delta=4-0{,}76=3{,}24$$
On remarque que $$\sqrt{3{,}24}=1{,}8$$.
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors le trinôme admet deux racines réelles distinctes notées $$p_{1}$$ et $$p_{2}$$ telles que :
$$p_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$p_{1}=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{3{,}24}}{2\times 1}$$ d'où $$p_{1}=0{,}1$$
$$p_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$p_{2}=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{3{,}24}}{2\times 1}$$ d'où $$p_{2}=1{,}9$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ et que nous connaissons les racines $$p_{1}$$ et $$p_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=1\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que le trinôme est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :D'après le tableau de signe, $$p^{2}-2p+0{,}19\geqslant 0$$ pour $$p\leqslant 0{,}1$$ ou $$p\geqslant 1{,}9$$. Sur $$\left[0;1\right]$$, les solutions sont alors : $$S=\left[0;0{,}1\right]$$.
Ainsi :