Exercices types : 44ème partie - Exercice 1

30 min
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Lors d'une kermesse, un stand propose le jeu suivant : le joueur lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées de 11 à 66. Pour jouer, il faut miser 22 euros.
  • Si l'on obtient un double (deux faces identiques), on reçoit 77 euros ;
  • si la somme des deux faces est égale à 99, on reçoit 33 euros ;
  • dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.
On note XX la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue moins la mise.
Question 1

Représenter les 3636 issues possibles dans un tableau à double entrée, en écrivant dans chaque case la somme des deux faces.

Correction
Chaque dé a 66 faces : il y a 6×6=366\times 6=36 issues possibles. Les dés étant équilibrés, ces 3636 issues sont équiprobables.
Dans le tableau ci-dessous, les doubles sont entourés en bleu et les sommes égales à 99 en orange :
Question 2

Expliquer pourquoi les évènements « obtenir un double » et « obtenir une somme égale à 99 » sont incompatibles.

Correction
  • Deux évènements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.
Si l'on obtient un double, les deux faces portent le même nombre kk : la somme vaut k+k=2kk+k=2k, c'est un nombre pair.
Or 99 est un nombre impair : un double ne peut donc jamais donner une somme égale à 99. On le voit aussi dans le tableau : aucune case n'est entourée deux fois.
Ainsi :
Les évènements « obtenir un double » et « obtenir une somme égale à 99 » sont incompatibles.
Question 3

Déterminer les valeurs prises par XX, puis la loi de probabilité de XX.

Correction
XX prend les valeurs suivantes 55, 11 et −2-2 donc X∈{−2;1;5}X\in\left\{-2;1;5\right\}.
  • Double : le joueur reçoit 77 euros, donc X=7−2=5X=7-2=5. Il y a 66 doubles, donc :
    P(X=5)=636=16P\left(X=5\right)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}
  • Somme égale à 99 : le joueur reçoit 33 euros, donc X=3−2=1X=3-2=1. Il y a 44 issues : (3;6)\left(3;6\right), (4;5)\left(4;5\right), (5;4)\left(5;4\right) et (6;3)\left(6;3\right), donc :
    P(X=1)=436=19P\left(X=1\right)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}
  • Autres cas : le joueur perd sa mise, donc X=−2X=-2. Il reste 36−6−4=2636-6-4=26 issues, donc :
    P(X=−2)=2636=1318P\left(X=-2\right)=\dfrac{26}{36}=\dfrac{13}{18}
Vérification : 636+436+2636=3636=1\dfrac{6}{36}+\dfrac{4}{36}+\dfrac{26}{36}=\dfrac{36}{36}=1.
On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 4

Calculer l'espérance E(X)E(X). Le jeu est-il favorable au joueur ? Interpréter le résultat sur un grand nombre de parties.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}
E(X)=5×636+1×436+(−2)×2636E\left(X\right)=5\times\dfrac{6}{36}+1\times\dfrac{4}{36}+\left(-2\right)\times\dfrac{26}{36}
E(X)=30+4−5236=−1836E\left(X\right)=\dfrac{30+4-52}{36}=\dfrac{-18}{36}
D'où :
E(X)=−12=−0,5E\left(X\right)=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5

L'espérance est négative : le jeu n'est pas favorable au joueur.
En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd 0,500{,}50 euro par partie ; autrement dit, le stand gagne en moyenne 0,500{,}50 euro par partie jouée.
Question 5

Calculer la variance V(X)V(X) puis l'écart-type σ(X)\sigma(X) (valeur arrondie au centième).

Correction
La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculé la variance VV. Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
  • V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i}\times\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}
  • σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
Avec E(X)=−12E\left(X\right)=-\dfrac{1}{2} :
V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i}\times\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}
V(X)=16×(5+12)2+19×(1+12)2+1318×(−2+12)2V\left(X\right)=\dfrac{1}{6}\times\left(5+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{9}\times\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{13}{18}\times\left(-2+\dfrac{1}{2}\right)^{2}
V(X)=16×1214+19×94+1318×94V\left(X\right)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{121}{4}+\dfrac{1}{9}\times\dfrac{9}{4}+\dfrac{13}{18}\times\dfrac{9}{4}
V(X)=12124+624+3924=16624V\left(X\right)=\dfrac{121}{24}+\dfrac{6}{24}+\dfrac{39}{24}=\dfrac{166}{24}
D'où :
V(X)=8312≈6,92V\left(X\right)=\dfrac{83}{12}\approx 6{,}92
σ(X)=V(X)=8312≈2,63\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{\dfrac{83}{12}}\approx 2{,}63
Question 6
L'organisateur souhaite rendre le jeu équitable en modifiant uniquement la somme reçue en cas de double. On note aa cette nouvelle somme, en euros.

Exprimer l'espérance du gain en fonction de aa.

Correction
En cas de double, le gain devient a−2a-2 ; les autres gains ne changent pas. On note encore XX le gain algébrique du joueur.
E(X)=(a−2)×16+1×19+(−2)×1318E\left(X\right)=\left(a-2\right)\times\dfrac{1}{6}+1\times\dfrac{1}{9}+\left(-2\right)\times\dfrac{13}{18}
E(X)=3(a−2)18+218−2618E\left(X\right)=\dfrac{3\left(a-2\right)}{18}+\dfrac{2}{18}-\dfrac{26}{18}
E(X)=3a−6+2−2618=3a−3018E\left(X\right)=\dfrac{3a-6+2-26}{18}=\dfrac{3a-30}{18}
D'où :
E(X)=a−106E\left(X\right)=\dfrac{a-10}{6}
Question 7

Déterminer la valeur de aa qui rend le jeu équitable.

Correction
  • Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain du joueur est nulle : E(X)=0E\left(X\right)=0. Il est favorable au joueur lorsque E(X)>0E\left(X\right)\gt 0 et défavorable lorsque E(X)<0E\left(X\right)\lt 0.
Le jeu est équitable lorsque E(X)=0E\left(X\right)=0, ce qui équivaut successivement à :
a−106=0\dfrac{a-10}{6}=0
a−10=0a-10=0
a=10a=10
Ainsi :
Le jeu est équitable si l'on reçoit 1010 euros en cas de double.
Vérification : avec a=10a=10, le gain en cas de double est 88 euros et E(X)=8×16+19−2618=24+2−2618=0E\left(X\right)=8\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{26}{18}=\dfrac{24+2-26}{18}=0.

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