Un magasin de téléphonie mobile lance une offre sur ses smartphones de la marque Pomme vendus à 800 € : il propose une assurance complémentaire pour 50 € ainsi qu’une coque à 20 €. Ce magasin a fait les constatations suivantes concernant les acheteurs de ce smartphone :
40% des acheteurs ont souscrit à l’assurance complémentaire.
Parmi les acheteurs qui ont souscrit à l’assurance complémentaire, 20% ont acheté en plus la coque.
Parmi les acheteurs qui n’ont pas souscrit à l’assurance complémentaire, deux sur trois n’ont pas acheté la coque.
Question 1
On interroge au hasard un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme. On considère les évènements suivants : A : « le client a souscrit à l’assurance complémentaire » ; C : « le client a acheté la coque ».
Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
Correction
On peut dresser l’arbre pondéré de probabilités :
Question 2
Calculer la probabilité que le client ait souscrit à l’assurance complémentaire et ait acheté la coque.
Correction
P(A∩C)=P(A)×PA(C) P(A∩C)=0,4×0,2 Ainsi :
P(A∩C)=0,08
Question 3
Montrer que P(C)=0,28.
Correction
A et A forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales on a : P(C)=P(A∩C)+P(A∩C) P(C)=P(A)×PA(C)+P(A)×PA(C) P(C)=0,4×0,2+0,6×31 P(C)=0,08+0,2 Ainsi :
P(C)=0,28
Question 4
Le client interrogé a acheté la coque. Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire ?
Correction
On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant que client interrogé a acheté la coque, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire ?
On note PB(A) la probabilité d’avoir l’événement A sachant que l’événement B est réalisé. On a alors la relation suivante :
PB(A)=P(B)P(A∩B)
Il vient alors que : PC(A)=P(C)P(A∩C) PC(A)=P(C)P(A)×PA(C) PC(A)=0,280,6×31 PC(A)=0,280,2 D'où :
PC(A)=75
Question 5
Déterminer la dépense moyenne d’un client de ce magasin ayantacheté un smartphone de la marque Pomme. On pourra noter X la variable aléatoire qui représente la dépense en euros d’un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
Correction
L'évènement A∩C correspond à un client qui a souscrit une assurance complémentaire et qui a acheté la coque . La dépense est alors de 800+50+20=870 euros. De plus : P(A∩C)=0,4×0,2=0,08
L'évènement A∩C correspond à un client qui a souscrit une assurance complémentaire et qui n'a pas acheté la coque . La dépense est alors de 800+50=850 euros. De plus : P(A∩C)=0,4×0,8=0,32
L'évènement A∩C correspond à un client qui n'a pas souscrit une assurance complémentaire et qui a acheté la coque . La dépense est alors de 800+20=820 euros. De plus : P(A∩C)=0,6×31=0,2
L'évènement A∩C correspond à un client qui a souscrit une assurance complémentaire et qui a acheté la coque . La dépense est alors de 800 euros. De plus : P(A∩C)=0,6×32=0,4
X peut prendre les valeurs : 870, 850, 820 et 800 avec les probabilités respectives 0,08; 0,32; 0,2; 0,4. La dépense moyenne par client ayant acheté un smartphone de la marque Pomme est donc :
La dépense moyenne par client ayant acheté un smartphone de la marque Pomme correspond à l'espérance de la variable aléatoire X.
On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée E(X) définie par :