Variables aléatoires

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

25 min
45
Question 1
Soit nn un entier naturel. Une urne contient une boule noire, deux boules vertes et nn boules rouges. On tire successivement et avec remise deux boules de l’urne.

Dresser un arbre pondéré traduisant la situation.

Correction
Il y a une boule noire, deux boules vertes et nn boules rouges, donc au total nous avons n+3n+3 boules.
Question 2
Soit AA l’événement : « Les deux boules sont de la même couleur ».

Déterminer P(A)P\left(A\right).

Correction
Pour calculer P(A)P\left(A\right), il nous faut calculer les probabilités d'avoir 22 rouges, 22 noires et 22 vertes.
Nous avons donc :
P(A)=P(N∩N)+P(V∩V)+P(R∩R)P\left(A\right)=P\left(N\cap N\right)+P\left(V\cap V\right)+P\left(R\cap R\right)
P(A)=1n+3×1n+3+2n+3×2n+3+nn+3×nn+3P\left(A\right)=\frac{1}{n+3} \times \frac{1}{n+3} +\frac{2}{n+3} \times \frac{2}{n+3} +\frac{n}{n+3} \times \frac{n}{n+3}
P(A)=1(n+3)2+4(n+3)2+n2(n+3)2P\left(A\right)=\frac{1}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{4}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{n^{2} }{\left(n+3\right)^{2} }
P(A)=n2+5(n+3)2P\left(A\right)=\frac{n^{2} +5}{\left(n+3\right)^{2} }
Question 3
Soit BB l’événement : « Les deux boules sont de couleur différente »

Déterminer P(B)P\left(B\right).

Correction
PREMIERE METHODE
On identifie tous les cas possibles.
P(B)=P(N∩V)+P(N∩R)+P(V∩N)+P(V∩R)+P(R∩N)+P(R∩V)P\left(B\right)=P\left(N\cap V\right)+P\left(N\cap R\right)+P\left(V\cap N\right)+P\left(V\cap R\right)+P\left(R\cap N\right)+P\left(R\cap V\right)
P(B)=1n+3×2n+3+1n+3×nn+3+2n+3×1n+3+2n+3×nn+3+nn+3×1n+3+nn+3×2n+3P\left(B\right)=\frac{1}{n+3} \times \frac{2}{n+3} +\frac{1}{n+3} \times \frac{n}{n+3} +\frac{2}{n+3} \times \frac{1}{n+3} +\frac{2}{n+3} \times \frac{n}{n+3} +\frac{n}{n+3} \times \frac{1}{n+3} +\frac{n}{n+3} \times \frac{2}{n+3}
P(B)=2(n+3)2+n(n+3)2+2(n+3)2+2n(n+3)2+n(n+3)2+2n(n+3)2P\left(B\right)=\frac{2}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{n}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{2}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{2n}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{n}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{2n}{\left(n+3\right)^{2} }
P(B)=6n+4(n+3)2P\left(B\right)=\frac{6n+4}{\left(n+3\right)^{2} }

DEUXIEME METHODE
On appelle événement contraire d’un événement AA, l’événement noté A‾\overline{A} tel que : P(A‾)=1−P(A)P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)
Les évènements AA et BB sont des événements contraires. En effet, si on prend tous les autres cas sauf ceux de l'évènement AA, nous aurons alors ceux de l'évènement BB.
Ainsi :
P(B)=1−P(A)P\left(B\right)=1-P\left(A\right)
P(B)=1−n2+5(n+3)2P\left(B\right)=1-\frac{n^{2} +5}{\left(n+3\right)^{2} }
P(B)=(n+3)2(n+3)2−n2+5(n+3)2P\left(B\right)=\frac{\left(n+3\right)^{2}}{\left(n+3\right)^{2} }-\frac{n^{2} +5}{\left(n+3\right)^{2} }
P(B)=n2+6n+9(n+3)2−n2+5(n+3)2P\left(B\right)=\frac{n^{2}+6n+9}{\left(n+3\right)^{2} }-\frac{n^{2} +5}{\left(n+3\right)^{2} }
P(B)=n2+6n+9−n2−5(n+3)2P\left(B\right)=\frac{n^{2}+6n+9-n^{2} -5}{\left(n+3\right)^{2} }
P(B)=6n+9−5(n+3)2P\left(B\right)=\frac{6n+9 -5}{\left(n+3\right)^{2} }
P(B)=6n+4(n+3)2P\left(B\right)=\frac{6n+4}{\left(n+3\right)^{2} }
Question 4
On considère le jeu suivant :
  • Le joueur perd 1010 euros si AA est réalisé.
  • Le joueur gagne 2020 euros si BB est réalisé.
    • On appelle XX la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.

    Déterminer la loi de probabilité de XX.

    Correction
    Soit AA l’événement : « Les deux boules sont de la même couleur ».
    Soit BB l’événement : « Les deux boules sont de couleur différente ».
    D'après les questions 22 et 33, la loi de probabilité de XX est donnée ci-dessous :
    Question 5

    Démontrer que E(X)=−10n2+120n+30(n+3)2E\left(X\right)=\frac{-10n^{2} +120n+30}{\left(n+3\right)^{2} }.

    Correction
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
    E(X)=−10×n2+5(n+3)2+20×6n+4(n+3)2E\left(X\right)=-10\times \frac{n^{2} +5}{\left(n+3\right)^{2} } +20\times \frac{6n+4}{\left(n+3\right)^{2} }
    E(X)=−10n2−50(n+3)2+120n+80(n+3)2E\left(X\right)=\frac{-10n^{2} -50}{\left(n+3\right)^{2} } +\frac{120n+80}{\left(n+3\right)^{2} }
    Ainsi :
    E(X)=−10n2+120n+30(n+3)2E\left(X\right)=\frac{-10n^{2} +120n+30}{\left(n+3\right)^{2} }
    Question 6

    Pour quelles valeurs de nn le jeu est favorable au joueur?

    Correction
      Pour que le jeu soit favorable au joueur, il faut que l'espérance soit strictement positive. Car si l'espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.
    Il nous faut donc résoudre l'inéquation E(X)>0E\left(X\right)>0 c'est à dire −10n2+120n+30(n+3)2>0\frac{-10n^{2} +120n+30}{\left(n+3\right)^{2} }>0
    Pour cela, nous allons dresser un tableau de signe. Il est facile de voir que le dénominateur (n+3)2>0\left(n+3\right)^{2} >0 car n≥0n\ge0.
    Donc le signe de E(X)E\left(X\right) dépend du numérateur −10n2+120n+30-10n^{2} +120n+30.
    Il s'agit d'un trinôme du second degré.
    Δ=15600\Delta =15600 ; n1=6−39≈−0,24n_{1} =6-\sqrt{39} \approx -0,24 ; n2=6+39≈12,24n_{2} =6+\sqrt{39} \approx 12,24. a=−10a=-10 alors la parabole est tournée vers le bas. Il en résulte donc que :
    Comme n2=6+39≈12,24n_{2} =6+\sqrt{39} \approx 12,24 , alors les valeurs de nn pour que le jeu soit favorable au joueur sont les entiers naturels compris dans l'intervalle ]0,12]\left]0,12\right].