Variables aléatoires

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

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Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et nn boules noires ( avec nn un entier strictement positif).
Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard.
  • Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 55 euros.
  • Si la boule tirée est jaune, le joueur reçoit 22 euros.
  • Si la boule tirée est noire, le joueur reçoit 11 euros.

Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un ticket qui coûte 1,701,70 euros.
Question 1
On note XnX_{n} la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur.

Déterminer la loi de probabilité de XnX_{n}.

Correction
Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et nn boules noires. Cela signifie qu'il y a au total n+4n+4 boules.
On sait XnX_{n} la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur. C'est à dire la somme reçue diminuée du prix du ticket.
La variable aléatoire XnX_{n} prend les valeurs suivantes : Xn={0,7;0,3;3,3}X_{n} =\left\{-0,7;0,3;3,3\right\}.
La loi de probabilité de XnX_{n} est donnée ci-dessous :

Question 2

Déterminer, en fonction de nn, l'espérance mathématique de XnX_{n}.

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=xi×pi=x1×p1+x2×p2++xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
E(Xn)=0,7×nn+4+0,3×3n+4+3,3×1n+4E\left(X_{n} \right)=-0,7\times \frac{n}{n+4} +0,3\times \frac{3}{n+4} +3,3\times \frac{1}{n+4}
E(Xn)=0,7n+0,9+3,3n+4E\left(X_{n} \right)=\frac{-0,7n+0,9+3,3}{n+4}
Ainsi :
E(Xn)=0,7n+4,2n+4E\left(X_{n} \right)=\frac{-0,7n+4,2}{n+4}
Question 3

Le club souhaite gagner au moins 0,500,50 euros par partie. Quel doit être le nombre minimal de boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie?

Correction
Le club souhaite gagner au moins 0,500,50 euros par partie, cela signifie que le joueur doit perdre au moins 0,500,50 euros.
Nous pouvons donc traduire cette question par la résolution de l'inéquation : E(Xn)0,50E\left(X_{n} \right)\le -0,50
E(Xn)0,50E\left(X_{n} \right)\le -0,50 équivaut successivement à :
0,7n+4,2n+40,50\frac{-0,7n+4,2}{n+4}\le -0,50
0,7n+4,20,50×(n+4)-0,7n+4,2\le -0,50\times \left(n+4 \right) car n+4>0n+4>0
0,2n6,2-0,2n\le -6,2
n6,20,2n\ge \frac{-6,2}{-0,2}
n6,20,2n\ge \frac{-6,2}{-0,2}
n31n\ge 31