Variables aléatoires

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

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Un groupe de théâtre s'installe à Laval en Mayenne. Le groupe propose de jouer sa pièce chaque jour et l'entrée est à 3030 euros. Une pancarte a l'entrée de la salle polyvalente a été placée et on peut lire :
Vous devez lancer le dé cubique non truqué et si :
  • Si vous faites 66 alors le spectacle sera gratuit pour vous.
  • Si vous faites 22 alors le spectacle sera demi-tarif.
  • Sinon vous devrez payer plein tarif. Et oui la troupe doit bien vivre :)
Soit XX la variable aléatoire , qui a chaque résultat du lancer de dé, le prix payé par le client.
Question 1

Déterminer la loi de probabilité de XX.

Correction
XX prend les valeurs suivantes : X={0;15;30}X=\left\{0;15;30\right\}
La loi de probabilité est donnée ci-dessous :
Question 2

Calculer l'espérance mathématique de XX.

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}

E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
E(X)=0×16+15×16+30×23E\left(X\right)=0\times \frac{1}{6}+15\times \frac{1}{6}+30\times \frac{2}{3}
E(X)=452E\left(X\right)= \frac{45}{2}
E(X)=22,5E\left(X\right)=22,5

En moyenne, l'entrée pour assister au spectacle se fera contre rémunération de 22,522,5 euros.
Question 3

Que peut-on en déduire si la salle pleine contient 15001500 places.

Correction
Nous avons vu à la question précédente qu'en moyenne, l'entrée pour assister au spectacle se fera contre rémunération de 22,522,5 euros.
Ainsi la recette de la journée pour la troupe de théatre est alors de : 22,5×1500=3375022,5\times 1500=33750 euros.