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Variables aléatoires

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

12 min
20
Un joueur joue au tiercé et choisit ses trois numéros au hasard. 1010 chevaux participent à la course.
Question 1

Il y a 1010 choix pour le cheval qui arrive en premier. Combien y en a-t-il pour le deuxième ? pour le troisième ?

Correction
Il y a 99 choix pour le deuxième cheval et 88 choix pour le troisième.
Question 2

En déduire le nombre d’arrivées possibles pour les trois premiers chevaux.

Correction
Nous allons faire le produit de 10×9×8=72010\times 9 \times 8=720.
Il y a donc 720720 arrivées possibles pour les trois premiers chevaux.
Question 3
Un joueur paie 2020 euros pour un ticket du tiercé.
Si son tiercé est le bon, il gagne 15001 500 euros ; si son tiercé est dans le désordre, il gagne 100100 euros. Dans les autres cas, il ne gagne rien.

Quelle est la loi de probabilité de son gain algébrique ?

Correction
Nous avons 11 tiercé gagnant dans l'ordre, donc le gain sera de : 1500−20=14801500-20=1480
Nous avons 55 tiercé dans le désordre, donc le gain sera de : 100−20=80100-20=80
Les autres tirages sont perdants, donc le joueur perd sa mise c'est à dire 2020 euros.
Nous allons traduite cela dans à l'aide d'une loi de probabilité :
Question 4

Quelle est l’espérance de son gain ? Que peut-on conclure?

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
E(X)=1480×1720+80×5720+(−20)×714720E\left(X\right)=1480\times \frac{1}{720}+80\times \frac{5}{720}+\left(-20\right)\times \frac{714}{720}
E(X)=−1559E\left(X\right)= -\frac{155}{9}
E(X)≈−17,22E\left(X\right)\approx-17,22

En moyenne, un joueur perd 17,2217,22 euros lorsqu'il joue au tiercé ... Alors pourquoi joué :)