Exercices types : $1$^ère partie

Il y a $9$ choix pour le deuxième cheval et $8$ choix pour le troisième.

Nous allons faire le produit de $10\times 9 \times 8=720$.
Il y a donc $720$ arrivées possibles pour les trois premiers chevaux.

Nous avons $1$ tiercé gagnant dans l'ordre, donc le gain sera de : $1500-20=1480$
Nous avons $5$ tiercé dans le désordre, donc le gain sera de : $100-20=80$
Les autres tirages sont perdants, donc le joueur perd sa mise c'est à dire $20$ euros.
Nous allons traduite cela dans à l'aide d'une loi de probabilité :

$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}$
$E\left(X\right)=1480\times \frac{1}{720}+80\times \frac{5}{720}+\left(-20\right)\times \frac{714}{720}$
$E\left(X\right)= -\frac{155}{9}$

En moyenne, un joueur perd $17,22$ euros lorsqu'il joue au tiercé ... Alors pourquoi joué :)

$X$ prend les valeurs suivantes : $X=\left\{0;15;30\right\}$
La loi de probabilité est donnée ci-dessous :

$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}$
$E\left(X\right)=0\times \frac{1}{6}+15\times \frac{1}{6}+30\times \frac{2}{3}$
$E\left(X\right)= \frac{45}{2}$

En moyenne, l'entrée pour assister au spectacle se fera contre rémunération de $22,5$ euros.

Nous avons vu à la question précédente qu'en moyenne, l'entrée pour assister au spectacle se fera contre rémunération de $22,5$ euros.
Ainsi la recette de la journée pour la troupe de théatre est alors de : $22,5\times 1500=33750$ euros.

D'après l'énoncé, on a :

Il s'agit de déterminer l'évènement : $\overline{M_{1} }\cap \overline{M_{2} }$. Ainsi :
$P\left(\overline{M_{1} }\cap \overline{M_{2} }\right)=0,001\times 0,001$

Donc si l'on donne un arrondi à $10^{-4}$, cela signifie que la probabilité que les deux moteurs tombent en panne est d'environ $0$.

Il s'agit de déterminer l'évènement : $M_{1} \cap M_{2}$
$P\left(M_{1} \cap M_{2} \right)=0,999\times 0,999$

Donc si l'on donne un arrondi à $10^{-4}$, cela signifie que la probabilité qu'aucun moteur ne tombe en panne est d'environ $0,998$.

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et $n$ boules noires. Cela signifie qu'il y a au total $n+4$ boules.
On sait $X_{n}$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur. C'est à dire la somme reçue diminuée du prix du ticket.
La variable aléatoire $X_{n}$ prend les valeurs suivantes : $X_{n} =\left\{-0,7;0,3;3,3\right\}$.
La loi de probabilité de $X_{n}$ est donnée ci-dessous :

$E\left(X_{n} \right)=-0,7\times \frac{n}{n+4} +0,3\times \frac{3}{n+4} +3,3\times \frac{1}{n+4}$
$E\left(X_{n} \right)=\frac{-0,7n+0,9+3,3}{n+4}$
Ainsi :

Le club souhaite gagner au moins $0,50$ euros par partie, cela signifie que le joueur doit perdre au moins $0,50$ euros.
Nous pouvons donc traduire cette question par la résolution de l'inéquation : $E\left(X_{n} \right)\le -0,50$
$E\left(X_{n} \right)\le -0,50$ équivaut successivement à :
$\frac{-0,7n+4,2}{n+4}\le -0,50$
$-0,7n+4,2\le -0,50\times \left(n+4 \right)$ car $n+4>0$
$-0,2n\le -6,2$
$n\ge \frac{-6,2}{-0,2}$
$n\ge \frac{-6,2}{-0,2}$

La bonne réponse est c. On sait que :
$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$ équivaut successivement à :
$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)\times P\left(B\right)$
$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+2P\left(A\right)-P\left(A\right)\times 2P\left(A\right)$
$P\left(A\cup B\right)=3P\left(A\right)-2\left(P\left(A\right)\right)^{2}$
Nous avons donc une équation du second degré d'inconnue $P\left(A\right)$ tel que :
$-2\left(P\left(A\right)\right)^{2}+3P\left(A\right)-0,88=0$
$\Delta =37$ ; $P\left(A\right){}_{1} =1,1$ ; $P\left(A\right){}_{2} =0,4$ .
On ne retient pas la valeur $P\left(A\right){}_{1} =1,1$ car une probabilité ne peut pas être plus grande que $1$.
Ainsi