Il y a donc 720 arrivées possibles pour les trois premiers chevaux.
Un joueur paie 20 euros pour un ticket du tiercé. Si son tiercé est le bon, il gagne 1500 euros ; si son tiercé est dans le désordre, il gagne 100 euros. Dans les autres cas, il ne gagne rien.
3
Quelle est la loi de probabilité de son gain algébrique ?
Correction
Nous avons 1 tiercé gagnant dans l'ordre, donc le gain sera de : 1500−20=1480 Nous avons 5 tiercé dans le désordre, donc le gain sera de : 100−20=80 Les autres tirages sont perdants, donc le joueur perd sa mise c'est à dire 20 euros. Nous allons traduite cela dans à l'aide d'une loi de probabilité :
4
Quelle est l’espérance de son gain ? Que peut-on conclure?
Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée E(X) définie par :
En moyenne, un joueur perd 17,22 euros lorsqu'il joue au tiercé ... Alors pourquoi joué :)
Exercice 2
Un groupe de théâtre s'installe à Laval en Mayenne. Le groupe propose de jouer sa pièce chaque jour et l'entrée est à 30 euros. Une pancarte a l'entrée de la salle polyvalente a été placée et on peut lire : Vous devez lancer le dé cubique non truqué et si :
Si vous faites 6 alors le spectacle sera gratuit pour vous.
Si vous faites 2 alors le spectacle sera demi-tarif.
Sinon vous devrez payer plein tarif. Et oui la troupe doit bien vivre :)
Soit X la variable aléatoire , qui a chaque résultat du lancer de dé, le prix payé par le client.
1
Déterminer la loi de probabilité de X.
Correction
X prend les valeurs suivantes : X={0;15;30} La loi de probabilité est donnée ci-dessous :
2
Calculer l'espérance mathématique de X.
Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée E(X) définie par :
E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pn
E(X)=∑xi×pi E(X)=0×61+15×61+30×32 E(X)=245
E(X)=22,5
En moyenne, l'entrée pour assister au spectacle se fera contre rémunération de 22,5 euros.
3
Que peut-on en déduire si la salle pleine contient 1500 places.
Correction
Nous avons vu à la question précédente qu'en moyenne, l'entrée pour assister au spectacle se fera contre rémunération de 22,5 euros. Ainsi la recette de la journée pour la troupe de théatre est alors de : 22,5×1500=33750 euros.
Exercice 3
Un avion possède deux moteurs identiques : la probabilité que chacun d'eux tombe en panne est de 0,1%. On suppose que la panne d'un moteur n'a aucune influence sur la panne de l'autre moteur. On appelle cela des évènements indépendants.
On note M1 l'évènement : le premier moteur ne tombe pas en panne.
On note M2 l'évènement : le deuxième moteur ne tombe pas en panne.
1
Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
Correction
D'après l'énoncé, on a :
2
Quelle est la probabilité que les deux moteurs tombent en panne? Donner un arrondi à 10−4 près.
Correction
Il s'agit de déterminer l'évènement : M1∩M2. Ainsi : P(M1∩M2)=0,001×0,001
P(M1∩M2)=10−6
Donc si l'on donne un arrondi à 10−4, cela signifie que la probabilité que les deux moteurs tombent en panne est d'environ 0.
3
Quelle est la probabilité qu'aucun moteur ne tombe en panne? Donner un arrondi à 10−4 près.
Correction
Il s'agit de déterminer l'évènement : M1∩M2 P(M1∩M2)=0,999×0,999
P(M1∩M2)=0,998001
Donc si l'on donne un arrondi à 10−4, cela signifie que la probabilité qu'aucun moteur ne tombe en panne est d'environ 0,998.
Exercice 4
Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et n boules noires ( avec n un entier strictement positif). Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard.
Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 5 euros.
Si la boule tirée est jaune, le joueur reçoit 2 euros.
Si la boule tirée est noire, le joueur reçoit 1 euros.
Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un ticket qui coûte 1,70 euros.
On note Xn la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur.
1
Déterminer la loi de probabilité de Xn.
Correction
Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et n boules noires. Cela signifie qu'il y a au total n+4 boules. On sait Xn la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur. C'est à dire la somme reçue diminuée du prix du ticket. La variable aléatoire Xn prend les valeurs suivantes : Xn={−0,7;0,3;3,3}. La loi de probabilité de Xn est donnée ci-dessous :
2
Déterminer, en fonction de n, l'espérance mathématique de Xn.
Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable X, la quantité notée E(X) définie par :
E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pn
E(Xn)=−0,7×n+4n+0,3×n+43+3,3×n+41 E(Xn)=n+4−0,7n+0,9+3,3 Ainsi :
E(Xn)=n+4−0,7n+4,2
3
Le club souhaite gagner au moins 0,50 euros par partie. Quel doit être le nombre minimal de boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie?
Correction
Le club souhaite gagner au moins 0,50 euros par partie, cela signifie que le joueur doit perdre au moins 0,50 euros. Nous pouvons donc traduire cette question par la résolution de l'inéquation : E(Xn)≤−0,50 E(Xn)≤−0,50 équivaut successivement à : n+4−0,7n+4,2≤−0,50 −0,7n+4,2≤−0,50×(n+4) car n+4>0 −0,2n≤−6,2 n≥−0,2−6,2 n≥−0,2−6,2
n≥31
Exercice 5
1
On considère 2 évènements indépendants A et B , tels que P(B)=2P(A) et P(A∪B)=0,88. Alors : P(A)=
0,2
0,3
0,4
0,1
Correction
La bonne réponse est c.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Si A et B sont des évènements indépendants alors : P(A∩B)=P(A)×P(B)
On sait que : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) équivaut successivement à : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)×P(B) P(A∪B)=P(A)+2P(A)−P(A)×2P(A) P(A∪B)=3P(A)−2(P(A))2 Nous avons donc une équation du second degré d'inconnue P(A) tel que : −2(P(A))2+3P(A)−0,88=0 Δ=37 ; P(A)1=1,1 ; P(A)2=0,4 . On ne retient pas la valeur P(A)1=1,1 car une probabilité ne peut pas être plus grande que 1. Ainsi
P(A)=0,4
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