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1ère Spécialité
Variables aléatoires
Espérance et écart type

Variables aléatoires

Espérance et écart type

Exercice 1

Pendant une fête foraine, deux stands ont le vent en poupe.
Adam aimant les maths et les probabilités a voulu lié l'utile et l'agréable.
Pendant

1

semaine, il a analysé les différents gains que proposent les deux stands ainsi que les probabilités des gains.
Il définie alors les lois de probabilités ci-dessous :

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand $A$ .
Les calculs sont à détailler...

Correction

On appelle l’espérance mathématique de la variable

X

, la quantité notée

E\left(X\right)

définie par :

$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}$

D'une part : Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )

E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}

E\left(X\right)=0,16\times 1+0,15\times 2+0,2\times 3+\ldots +0,06\times 10

E\left(X\right)=3,56

La formule de l'écart type

\sigma

est obtenue après avoir calculer la variance

V

.
Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :

$V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

V\left(X\right)=\sum \left(x_{i} -E\left(X\right)\right) ^{2} \times p_{i}

V\left(X\right)=\left(1-3,56\right)^{2} \times 0,16+\left(2-3,56\right)^{2} \times 0,15+\left(3-3,56\right)^{2} \times 0,2+\ldots +\left(10-3,56\right)^{2} \times 0,06

V\left(X\right)=4,3864

\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} \approx 2,09

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand $B$ .
Les calculs sont à détailler...

Correction

On appelle l’espérance mathématique de la variable

X

, la quantité notée

E\left(X\right)

définie par :

$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}$

D'une part : Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )

E\left(X\right)=\sum p_{i}\times x_{i}

E\left(X\right)=0,03\times 1+0,1\times 2+\ldots +0,06\times 10

E\left(X\right)=3,55

La formule de l'écart type

\sigma

est obtenue après avoir calculer la variance

V

.
Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :

$V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

D'autre part :

V\left(X\right)=\sum \left(x_{i} -E\left(X\right)\right) ^{2} \times p_{i}

V\left(X\right)=\left(1-3,55\right)^{2} \times 0,03+\left(2-3,55\right)^{2} \times 0,1+\left(3-3,55\right)^{2} \times 0,51+\ldots +\left(10-3,55\right)^{2} \times 0,04

V\left(X\right)=2,5275

\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} \approx 1,59

Compte tenu de ces informations, quel stand va choisir Adam ?
Pourquoi ?

Correction

Les deux stands ont quasiment fait la même moyenne

E\left(X\right)\approx E\left(Y\right)

.
Adam prendra le stand

B

où l'écart type le plus petit car cela signifie que les gains seront plus important car plus près de l'espérance

Exercice 2

Une urne contient

7

boules indiscernables au toucher :

4

bleues et

3

rouges. On extrait l'une après l'autre, sans remise, deux boules de l'urne.
A chaque issue, on associe le nombre de boules bleues obtenues. On définit ainsi une variable aléatoire

X

Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre.

Correction

On note :

$R_{1}$ la première boule tirée est de couleur rouge.
$B_{1}$ la première boule tirée est de couleur bleue.
$R_{2}$ la deuxième boule tirée est de couleur rouge.
$B_{2}$ la deuxième boule tirée est de couleur bleue.

L'arbre pondéré est donné ci-dessous :

Calculer $P\left(X=0\right)$

Correction

P\left(X=0\right)

signifie que l'on a tiré aucune boule bleue lors des deux tirages.
Cela signifie que lors du premier tirage on tire

R_{1}

et lors du deuxième tirage on tire

R_{2}

.
Nous pouvons écrire alors que :

P\left(X=0\right)=P\left(R_{1} \cap R_{2} \right)

P\left(X=0\right)=\frac{3}{7}\times\frac{2}{6}

P\left(X=0\right)=\frac{1}{7}

Définir la loi de probabilité de $X$ .

Correction

Il nous faut calculer maintenant

P\left(X=2\right)

P\left(X=1\right)

.
D'une part :

P\left(X=2\right)=P\left(B_{1} \cap B_{2} \right)

P\left(X=2\right)=\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}

P\left(X=2\right)=\frac{2}{7}

D'autre part :

P\left(X=1\right)=P\left(R_{1} \cap B_{2} \right)+P\left(B_{1} \cap R_{2} \right)

P\left(X=1\right)=\frac{3}{7}\times\frac{4}{6}+\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}

P\left(X=1\right)=\frac{4}{7}

Nous allons maintenant dresser la loi de probabilité de

X

Calculer l'espérance et l'écart type de $X$ .

Correction

On appelle l’espérance mathématique de la variable

X

, la quantité notée

E\left(X\right)

définie par :

$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}$

D'une part : Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )

E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}

E\left(X\right)=0\times \frac{1}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}

E\left(X\right)=\frac{8}{7}

La formule de l'écart type

\sigma

est obtenue après avoir calculer la variance

V

.
Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :

$V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

V\left(X\right)=\sum \left(x_{i} -E\left(X\right)\right) ^{2} \times p_{i}

V\left(X\right)=\left(0-\frac{8}{7}\right)^{2} \times 0+\left(1-\frac{8}{7}\right)^{2} \times 1+\left(2-\frac{8}{7}\right)^{2} \times 2

V\left(X\right)=\frac{73}{49}

\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} \approx 1,22

Exercice 3

La loi de probabilité d'une variable aléatoire

X

associée à un jeu de hasard est donnée dans le tableau suivant : (Les valeurs de

X

sont exprimées en euros).

Calculer la valeur de $a$ .

Correction

Le tableau ci-dessous représente une loi de probabilité si la somme des probabilités est égale à $1$ .
Il vient alors que :

p\left(X=-4\right)+p\left(X=-1\right)+p\left(X=0\right)+p\left(X=6\right)+p\left(X=9\right)+p\left(X=15\right)=1

équivaut successivement à :

0,25+0,15+0,25+0,1+a+0,05=1

a=1-0,25-0,15-0,25-0,1-0,05

a=0,2

Finalement, la loi de probabilité est :

Calculer l'espérance de la variable $X$ .

Correction

On appelle l’espérance mathématique de la variable

X

, la quantité notée

E\left(X\right)

définie par :

$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}$

E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}

E\left(X\right)=-4\times 0,25-1\times 0,15+0\times 0,25+6\times 0,1+9\times 0,2+15\times 0,05

E\left(X\right)=2

En moyenne, le gain associé à ce jeu serait de

2

euros.

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Espérance et écart type

Exercice 1

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand AAA. Les calculs sont à détailler...

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand BBB. Les calculs sont à détailler...

Compte tenu de ces informations, quel stand va choisir Adam ? Pourquoi ?

Exercice 2

Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre.

Calculer P(X=0)P\left(X=0\right)P(X=0)

Définir la loi de probabilité de XXX.

Calculer l'espérance et l'écart type de XXX.

Exercice 3

Calculer la valeur de aaa.

Calculer l'espérance de la variable XXX.

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand $A$ .
Les calculs sont à détailler...

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand $B$ .
Les calculs sont à détailler...

Compte tenu de ces informations, quel stand va choisir Adam ?
Pourquoi ?

Calculer $P\left(X=0\right)$

Définir la loi de probabilité de $X$ .

Calculer l'espérance et l'écart type de $X$ .

Calculer la valeur de $a$ .

Calculer l'espérance de la variable $X$ .