Variables aléatoires

Espérance et écart type - Exercice 1

12 min
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Pendant une fête foraine, deux stands ont le vent en poupe.
Adam aimant les maths et les probabilités a voulu lié l'utile et l'agréable.
Pendant 11 semaine, il a analysé les différents gains que proposent les deux stands ainsi que les probabilités des gains.
Il définie alors les lois de probabilités ci-dessous :
Question 1

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand AA.
Les calculs sont à détailler...

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
D'une part : Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
E(X)=0,16×1+0,15×2+0,2×3+…+0,06×10E\left(X\right)=0,16\times 1+0,15\times 2+0,2\times 3+\ldots +0,06\times 10
E(X)=3,56E\left(X\right)=3,56
La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculer la variance VV.
Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
  • V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}
  • σ(X)=V(X)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
V(X)=∑(xi−E(X))2×piV\left(X\right)=\sum \left(x_{i} -E\left(X\right)\right) ^{2} \times p_{i}
V(X)=(1−3,56)2×0,16+(2−3,56)2×0,15+(3−3,56)2×0,2+…+(10−3,56)2×0,06V\left(X\right)=\left(1-3,56\right)^{2} \times 0,16+\left(2-3,56\right)^{2} \times 0,15+\left(3-3,56\right)^{2} \times 0,2+\ldots +\left(10-3,56\right)^{2} \times 0,06
V(X)=4,3864V\left(X\right)=4,3864

σ(X)=V(X)≈2,09\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} \approx 2,09

Question 2

Calculer l’espérance et l’écart type pour le stand BB.
Les calculs sont à détailler...

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
D'une part : Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )

E(X)=∑pi×xiE\left(X\right)=\sum p_{i}\times x_{i}
E(X)=0,03×1+0,1×2+…+0,06×10E\left(X\right)=0,03\times 1+0,1\times 2+\ldots +0,06\times 10
E(X)=3,55E\left(X\right)=3,55
La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculer la variance VV.
Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
  • V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}
  • σ(X)=V(X)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
D'autre part :
V(X)=∑(xi−E(X))2×piV\left(X\right)=\sum \left(x_{i} -E\left(X\right)\right) ^{2} \times p_{i}
V(X)=(1−3,55)2×0,03+(2−3,55)2×0,1+(3−3,55)2×0,51+…+(10−3,55)2×0,04V\left(X\right)=\left(1-3,55\right)^{2} \times 0,03+\left(2-3,55\right)^{2} \times 0,1+\left(3-3,55\right)^{2} \times 0,51+\ldots +\left(10-3,55\right)^{2} \times 0,04
V(X)=2,5275V\left(X\right)=2,5275

σ(X)=V(X)≈1,59\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} \approx 1,59
Question 3

Compte tenu de ces informations, quel stand va choisir Adam ?
Pourquoi ?

Correction
Les deux stands ont quasiment fait la même moyenne E(X)≈E(Y)E\left(X\right)\approx E\left(Y\right).
Adam prendra le stand BB où l'écart type le plus petit car cela signifie que les gains seront plus important car plus près de l'espérance