Variables aléatoires

Encore des petits problèmes.... - Exercice 1

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Question 1
Lors de la Foire du Trône, un stand propose le jeu suivant.
Il y a 1515 cartes : deux sont rouges, neuf sont blanches et quatre sont noires.
Le joueur choisit au hasard une carte :
  • Si elle est rouge, le joueur gagne 135135 euros ;
  • Si elle est noire, le joueur ne gagne rien ;
  • Si elle est blanche, le joueur perd aa € .
    • Soit XX la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain du joueur en euros.

    Calculer aa pour que le jeu soit équitable ?

    Correction
    • Un jeu est équitable si l'espérance de la variable aléatoire correspondant au gain est nulle . Autrement dit : E(X)=0E\left(X\right)=0
    La variable aléatoire XX prendra comme valeurs X={135;0;−a}X=\left\{135;0;-a\right\}.
    Nous pouvons donner facilement la loi de probabilité de XX.
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
    135×215+0×415−a×915=0135\times \frac{2}{15} +0\times \frac{4}{15} -a\times \frac{9}{15} =0 équivaut successivement à :
    27015−9a15=0\frac{270}{15} -\frac{9a}{15} =0
    270−9a15=0\frac{270-9a}{15} =0
    270−9a=0×15270-9a=0\times 15
    270−9a=0270-9a=0
    −9a=−270-9a=-270
    a=−270−9a=\frac{-270}{-9}
    a=30a=30

    Il en résulte donc que :