Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 4

30 min
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Exercice noté sur 44 points.
On reprend la réduction XX de l'exercice 1, dont l'espérance est E(X)=2,28E\left(X\right)=2{,}28. Le programme Python ci-dessous simule la réduction accordée à un client.
Question 1

Expliquer pourquoi la fonction reduction renvoie 66, 22, 33 et 00 avec les probabilités de la loi de XX. (1,5 points)

Correction
random() renvoie un nombre réel au hasard dans l'intervalle [0;1[\left[0;1\right[ ; la probabilité qu'il tombe dans un intervalle inclus dans [0;1[\left[0;1\right[ est égale à la longueur de cet intervalle.
  • 66 est renvoyé lorsque r<0,21r\lt 0{,}21 : probabilité 0,210{,}21 ;
  • 22 est renvoyé lorsque 0,21⩽r<0,30{,}21\leqslant r\lt 0{,}3 : probabilité 0,3−0,21=0,090{,}3-0{,}21=0{,}09 ;
  • 33 est renvoyé lorsque 0,3⩽r<0,580{,}3\leqslant r\lt 0{,}58 : probabilité 0,58−0,3=0,280{,}58-0{,}3=0{,}28 ;
  • 00 est renvoyé sinon : probabilité 1−0,58=0,421-0{,}58=0{,}42.
Ainsi :
la fonction simule bien la loi de XX
Question 2

L'appel moyenne(1000) a renvoyé 2,2732{,}273. Que représente ce nombre ? Commenter. (1 point)

Correction
  • Lorsque l'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la moyenne des valeurs obtenues pour XX se rapproche, en général, de l'espérance E(X)E\left(X\right).
  • Pour des échantillons de taille nn, dans environ 95%95\% des cas, la moyenne mm de l'échantillon vérifie ∣m−E(X)∣⩽2σn\left|m-E\left(X\right)\right|\leqslant\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}, où σ=σ(X)\sigma=\sigma\left(X\right).
C'est la réduction moyenne observée sur un échantillon de 1 0001\,000 clients simulés.
Elle est proche de l'espérance E(X)=2,28E\left(X\right)=2{,}28 : l'écart est 2,28−2,273=0,0072{,}28-2{,}273=0{,}007.
Question 3

On admet que σ(X)≈2,29\sigma\left(X\right)\approx 2{,}29. Calculer 2σ1000\dfrac{2\sigma}{\sqrt{1000}}, arrondi au millième. Le résultat de la simulation est-il conforme à ce que l'on attend ? (1,5 points)

Correction
2σ1000≈2×2,2931,623\dfrac{2\sigma}{\sqrt{1000}}\approx\dfrac{2\times 2{,}29}{31{,}623}
D'où :
2σ1000≈0,145\dfrac{2\sigma}{\sqrt{1000}}\approx 0{,}145

Dans environ 95%95\% des cas, la moyenne d'un échantillon de taille 1 0001\,000 est à moins de 0,1450{,}145 de l'espérance. Ici, l'écart est 0,0070{,}007, bien plus petit que 0,1450{,}145.
Ainsi :
le résultat de la simulation est conforme à ce que l'on attend

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