Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 2

L'urne contient $$n+1$$ boules, dont $$1$$ rouge. Les tirages se font avec remise : à chaque tirage, $$P\left(\text{rouge}\right)=\dfrac{1}{n+1}$$ et $$P\left(\text{verte}\right)=\dfrac{n}{n+1}$$, quel que soit le résultat du premier tirage.
L'arbre pondéré est :

$$\left\{X=2\right\}$$ correspond aux chemins $$R_{1}\cap R_{2}$$ et $$\overline{R_{1}}\cap\overline{R_{2}}$$, qui sont incompatibles :
$$P\left(X=2\right)=\dfrac{1}{n+1}\times\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{n}{n+1}\times\dfrac{n}{n+1}$$
D'où :
$$\left\{X=-3\right\}$$ correspond aux chemins $$R_{1}\cap\overline{R_{2}}$$ et $$\overline{R_{1}}\cap R_{2}$$ :
$$P\left(X=-3\right)=\dfrac{1}{n+1}\times\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{n}{n+1}\times\dfrac{1}{n+1}$$
D'où :

$$E\left(X\right)=2\times\dfrac{n^{2}+1}{\left(n+1\right)^{2}}+\left(-3\right)\times\dfrac{2n}{\left(n+1\right)^{2}}$$
$$E\left(X\right)=\dfrac{2n^{2}+2-6n}{\left(n+1\right)^{2}}$$
D'où :

Le dénominateur $$\left(n+1\right)^{2}$$ est strictement positif : $$E\left(X\right)$$ a le signe du numérateur $$2n^{2}-6n+2$$.
On étudie donc le signe du trinôme $$2n^{2}-6n+2$$.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$n^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$n$$ d'où $$b=-6$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=2$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-6\right)^{2}-4\times 2\times 2$$
$$\Delta=36-16=20$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors le trinôme admet deux racines réelles distinctes notées $$n_{1}$$ et $$n_{2}$$ telles que :
$$n_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$n_{1}=\dfrac{-\left(-6\right)-\sqrt{20}}{2\times 2}$$ d'où $$n_{1}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38$$
$$n_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$n_{2}=\dfrac{-\left(-6\right)+\sqrt{20}}{2\times 2}$$ d'où $$n_{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ et que nous connaissons les racines $$n_{1}$$ et $$n_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=2\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$2n^{2}-6n+2$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :Conclusion : $$2n^{2}-6n+2\gt 0$$ pour $$n\lt n_{1}$$ ou $$n\gt n_{2}$$. Comme $$n$$ est un entier supérieur ou égal à $$1$$, et que $$n_{2}\approx 2{,}62$$ :

• pour $$n=1$$ et $$n=2$$, $$E\left(X\right)\lt 0$$ : le jeu est défavorable (par exemple, $$E\left(X\right)=\dfrac{2-6+2}{4}=-0{,}5$$ pour $$n=1$$) ;
• pour $$n\geqslant 3$$, $$E\left(X\right)\gt 0$$ : le jeu est favorable.

Ainsi :