Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 1

30 min
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Exercice noté sur 66 points.
Dans un magasin, 30%30\% des clients ont une carte de fidélité. Parmi les clients qui ont la carte, 70%70\% achètent un article en promotion ; parmi les clients qui n'ont pas la carte, 40%40\% achètent un article en promotion.
On interroge un client au hasard et on note :
  • FF l'évènement « le client a une carte de fidélité » ;
  • AA l'évènement « le client achète un article en promotion ».
Question 1

Construire un arbre pondéré traduisant la situation. (1 point)

Correction
D'après l'énoncé : P(F)=0,3P\left(F\right)=0{,}3, donc P(F‾)=0,7P\left(\overline{F}\right)=0{,}7 ; PF(A)=0,7P_{F}\left(A\right)=0{,}7, donc PF(A‾)=0,3P_{F}\left(\overline{A}\right)=0{,}3 ; PF‾(A)=0,4P_{\overline{F}}\left(A\right)=0{,}4, donc PF‾(A‾)=0,6P_{\overline{F}}\left(\overline{A}\right)=0{,}6.
  • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
L'arbre pondéré est :
Question 2

Calculer P(F∩A)P\left(F\cap A\right). (0,5 point)

Correction
  • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
On cherche à calculer la probabilité de l'évènement F∩AF\cap A. Il en résulte que :
P(F∩A)=P(F)×PF(A)P\left(F\cap A\right)=P\left(F\right)\times P_{F}\left(A\right)
P(F∩A)=0,3×0,7P\left(F\cap A\right)=0{,}3\times 0{,}7
D'où :
P(F∩A)=0,21P\left(F\cap A\right)=0{,}21
Question 3

Montrer que P(A)=0,49P\left(A\right)=0{,}49. (1 point)

Correction
Les évènements FF et F‾\overline{F} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(A)=P(F∩A)+P(F‾∩A)P\left(A\right)=P\left(F\cap A\right)+P\left(\overline{F}\cap A\right) équivaut successivement à :
P(A)=P(F)×PF(A)+P(F‾)×PF‾(A)P\left(A\right)=P\left(F\right)\times P_{F}\left(A\right)+P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}}\left(A\right)
P(A)=0,21+0,7×0,4P\left(A\right)=0{,}21+0{,}7\times 0{,}4
P(A)=0,21+0,28P\left(A\right)=0{,}21+0{,}28
Ainsi :
P(A)=0,49P\left(A\right)=0{,}49
Question 4

Un client a acheté un article en promotion. Quelle est la probabilité qu'il ait une carte de fidélité ? Donner la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centième. (1 point)

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le client a acheté un article en promotion, quelle est la probabilité qu'il ait une carte de fidélité ?
On cherche donc PA(F)P_{A}\left(F\right).
  • Pour deux évènements AA et BB avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0 : PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
PA(F)=P(F∩A)P(A)P_{A}\left(F\right)=\dfrac{P\left(F\cap A\right)}{P\left(A\right)}
PA(F)=0,210,49=2149P_{A}\left(F\right)=\dfrac{0{,}21}{0{,}49}=\dfrac{21}{49}
D'où :
PA(F)=37≈0,43P_{A}\left(F\right)=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}43
Question 5
Le magasin accorde une réduction : 66 euros aux clients qui ont la carte et achètent un article en promotion, 22 euros à ceux qui ont la carte sans acheter d'article en promotion, 33 euros à ceux qui achètent un article en promotion sans avoir la carte, et rien aux autres. On note XX le montant de la réduction, en euros.

Déterminer la loi de probabilité de XX. (1,5 points)

Correction
  • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
Chaque valeur de XX correspond à un chemin de l'arbre :
  • {X=6}=F∩A\left\{X=6\right\}=F\cap A :
    P(X=6)=0,21P\left(X=6\right)=0{,}21
  • {X=2}=F∩A‾\left\{X=2\right\}=F\cap\overline{A} : P(X=2)=0,3×0,3P\left(X=2\right)=0{,}3\times 0{,}3, donc :
    P(X=2)=0,09P\left(X=2\right)=0{,}09
  • {X=3}=F‾∩A\left\{X=3\right\}=\overline{F}\cap A : P(X=3)=0,7×0,4P\left(X=3\right)=0{,}7\times 0{,}4, donc :
    P(X=3)=0,28P\left(X=3\right)=0{,}28
  • {X=0}=F‾∩A‾\left\{X=0\right\}=\overline{F}\cap\overline{A} : P(X=0)=0,7×0,6P\left(X=0\right)=0{,}7\times 0{,}6, donc :
    P(X=0)=0,42P\left(X=0\right)=0{,}42
Vérification : 0,21+0,09+0,28+0,42=10{,}21+0{,}09+0{,}28+0{,}42=1.
On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 6

Calculer E(X)E\left(X\right). Le magasin reçoit environ 500500 clients par jour : quel montant total de réductions peut-il prévoir ? (1 point)

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=0×0,42+2×0,09+3×0,28+6×0,21E\left(X\right)=0\times 0{,}42+2\times 0{,}09+3\times 0{,}28+6\times 0{,}21
E(X)=0+0,18+0,84+1,26E\left(X\right)=0+0{,}18+0{,}84+1{,}26
D'où :
E(X)=2,28E\left(X\right)=2{,}28

En moyenne, la réduction est de 2,282{,}28 euros par client. Pour 500500 clients : 500×2,28=1 140500\times 2{,}28=1\,140.
Ainsi :
le magasin peut prévoir environ 1 1401\,140 euros de réductions par jour

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