Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 3

20 min
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Exercice noté sur 77 points.
Une urne contient 33 boules rouges et 22 boules vertes, indiscernables au toucher. Un joueur tire une boule au hasard :
  • si elle est rouge, il perd 22 euros ;
  • si elle est verte, il gagne aa euros, où aa est un réel strictement positif.
On note XX le gain algébrique du joueur, en euros.
Question 1

Déterminer la loi de probabilité de XX. (1,5 points)

Correction
Les 55 boules ont la même probabilité d'être tirées :
P(X=−2)=35P\left(X=-2\right)=\dfrac{3}{5}
P(X=a)=25P\left(X=a\right)=\dfrac{2}{5}

On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 2

Montrer que E(X)=2a−65E\left(X\right)=\dfrac{2a-6}{5}. (2 points)

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=(−2)×35+a×25E\left(X\right)=\left(-2\right)\times\dfrac{3}{5}+a\times\dfrac{2}{5}
E(X)=−65+2a5E\left(X\right)=\dfrac{-6}{5}+\dfrac{2a}{5}
D'où :
E(X)=2a−65E\left(X\right)=\dfrac{2a-6}{5}
Question 3

Pour quelle valeur de aa le jeu est-il équitable ? Pour quelles valeurs de aa est-il favorable au joueur ? (2 points)

Correction
  • Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain du joueur est nulle : E(X)=0E\left(X\right)=0. Il est favorable au joueur lorsque E(X)>0E\left(X\right)\gt 0 et défavorable lorsque E(X)<0E\left(X\right)\lt 0.
Le jeu est équitable lorsque E(X)=0E\left(X\right)=0, ce qui équivaut successivement à :
2a−65=0\dfrac{2a-6}{5}=0
2a−6=02a-6=0
a=3a=3
Ainsi :
le jeu est équitable pour a=3a=3

Le jeu est favorable au joueur lorsque E(X)>0E\left(X\right)\gt 0, ce qui équivaut successivement à :
2a−6>02a-6\gt 0
a>3a\gt 3
Ainsi :
le jeu est favorable au joueur pour a>3a\gt 3
Question 4

On prend a=3a=3. Calculer l'écart type de XX, arrondi au centième. (1,5 points)

Correction
Formule de König-Huygens :
  • V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2} où E(X2)=∑xi2×pi=x12×p1+x22×p2+…+xn2×pnE\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\times p_{i}=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}.
Pour a=3a=3, le jeu est équitable : E(X)=0E\left(X\right)=0.
E(X2)=(−2)2×35+32×25=125+185=305=6E\left(X^{2}\right)=\left(-2\right)^{2}\times\dfrac{3}{5}+3^{2}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}+\dfrac{18}{5}=\dfrac{30}{5}=6
V(X)=E(X2)−(E(X))2=6−02=6V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}=6-0^{2}=6
σ(X)=6\sigma\left(X\right)=\sqrt{6}
D'où :
σ(X)≈2,45\sigma\left(X\right)\approx 2{,}45

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