Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 2

20 min
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Exercice noté sur 66 points.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire XX est donnée ci-dessous.
Question 1

Calculer E(X)E\left(X\right). (1,5 points)

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=1×0,4+3×0,3+5×0,2+10×0,1E\left(X\right)=1\times 0{,}4+3\times 0{,}3+5\times 0{,}2+10\times 0{,}1
E(X)=0,4+0,9+1+1E\left(X\right)=0{,}4+0{,}9+1+1
D'où :
E(X)=3,3E\left(X\right)=3{,}3
Question 2

Calculer E(X2)E\left(X^{2}\right), puis V(X)V\left(X\right) à l'aide de la formule de König-Huygens. (2 points)

Correction
Formule de König-Huygens :
  • V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2} où E(X2)=∑xi2×pi=x12×p1+x22×p2+…+xn2×pnE\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\times p_{i}=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}.
E(X2)=12×0,4+32×0,3+52×0,2+102×0,1E\left(X^{2}\right)=1^{2}\times 0{,}4+3^{2}\times 0{,}3+5^{2}\times 0{,}2+10^{2}\times 0{,}1
E(X2)=0,4+2,7+5+10E\left(X^{2}\right)=0{,}4+2{,}7+5+10
D'où :
E(X2)=18,1E\left(X^{2}\right)=18{,}1

V(X)=E(X2)−(E(X))2V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}
V(X)=18,1−3,32V\left(X\right)=18{,}1-3{,}3^{2}
V(X)=18,1−10,89V\left(X\right)=18{,}1-10{,}89
D'où :
V(X)=7,21V\left(X\right)=7{,}21
Question 3

En déduire l'écart type de XX, arrondi au centième. (1 point)

Correction
σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
σ(X)=7,21\sigma\left(X\right)=\sqrt{7{,}21}
D'où :
σ(X)≈2,69\sigma\left(X\right)\approx 2{,}69
Question 4

On pose Y=2X−1Y=2X-1. Calculer E(Y)E\left(Y\right). (1,5 points)

Correction
  • Pour toute variable aléatoire XX et pour tous réels aa et bb : E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b.
  • Pour deux variables aléatoires XX et YY définies sur le même univers : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right).
E(Y)=E(2X−1)E\left(Y\right)=E\left(2X-1\right)
E(Y)=2×E(X)−1E\left(Y\right)=2\times E\left(X\right)-1
E(Y)=2×3,3−1E\left(Y\right)=2\times 3{,}3-1
D'où :
E(Y)=5,6E\left(Y\right)=5{,}6

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