Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 1

20 min
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Exercice noté sur 77 points.
Une association organise une loterie. Une urne contient 2020 tickets indiscernables : 11 ticket fait gagner 5050 euros, 44 tickets font gagner 1010 euros et les 1515 autres sont perdants. Un joueur paie 55 euros, puis tire un ticket au hasard.
On note XX le gain algébrique du joueur, en euros (somme gagnée moins le prix du ticket).
Question 1

Quelles sont les valeurs prises par XX ? (1 point)

Correction
  • ticket à 5050 euros : X=50−5=45X=50-5=45 ;
  • ticket à 1010 euros : X=10−5=5X=10-5=5 ;
  • ticket perdant : X=0−5=−5X=0-5=-5.
XX prend donc les valeurs suivantes −5-5, 55 et 4545.
Question 2

Déterminer la loi de probabilité de XX. (2 points)

Correction
Les 2020 tickets ont la même probabilité d'être tirés :
P(X=45)=120P\left(X=45\right)=\dfrac{1}{20}
P(X=5)=420=15P\left(X=5\right)=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}
P(X=−5)=1520=34P\left(X=-5\right)=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}
Vérification : 120+420+1520=1\dfrac{1}{20}+\dfrac{4}{20}+\dfrac{15}{20}=1.
On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 3

Traduire l'évènement {X⩾0}\left\{X\geqslant 0\right\} par une phrase, puis calculer sa probabilité. (1,5 points)

Correction
{X⩾0}\left\{X\geqslant 0\right\} : « le joueur ne perd pas d'argent », c'est-à-dire qu'il tire un ticket gagnant.
P(X⩾0)=P(X=5)+P(X=45)P\left(X\geqslant 0\right)=P\left(X=5\right)+P\left(X=45\right)
P(X⩾0)=420+120=520P\left(X\geqslant 0\right)=\dfrac{4}{20}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{5}{20}
D'où :
P(X⩾0)=14P\left(X\geqslant 0\right)=\dfrac{1}{4}
Question 4

Calculer l'espérance de XX et l'interpréter du point de vue de l'association. (2,5 points)

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
E(X)=45×120+5×420+(−5)×1520E\left(X\right)=45\times\dfrac{1}{20}+5\times\dfrac{4}{20}+\left(-5\right)\times\dfrac{15}{20}
E(X)=45+20−7520=−1020E\left(X\right)=\dfrac{45+20-75}{20}=\dfrac{-10}{20}
D'où :
E(X)=−0,5E\left(X\right)=-0{,}5

En moyenne, un joueur perd 0,500{,}50 euro par ticket : l'association gagne en moyenne 0,500{,}50 euro par ticket vendu.
Vérification : si les 2020 tickets sont vendus, l'association reçoit 20×5=10020\times 5=100 euros et verse 50+4×10=9050+4\times 10=90 euros de lots. Elle gagne 1010 euros, c'est-à-dire 20×0,520\times 0{,}5.

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