Algorithmes en Python : espérance, variance et fréquences - Exercice 2

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On veut étudier la fréquence d'apparition d'une lettre dans un texte écrit en minuscules, sans accents ni ponctuation. On utilise la fonction ci-dessous.
Question 1

Que représentent les variables n et total à la fin de la boucle ? Que renvoie la fonction ?

Correction
La boucle parcourt tous les caractères c du texte. Les espaces sont ignorés.
  • total est le nombre de lettres du texte ;
  • n est le nombre de fois où la lettre cherchée apparaît.
Ainsi :
la fonction renvoie la fréquence ntotal\dfrac{n}{\text{total}} de la lettre dans le texte
Question 2

Que renvoie frequence("e", "le hasard fait bien les choses") ? Et frequence("a", "le hasard fait bien les choses") ?

Correction
On compte les lettres de chaque mot : le (22), hasard (66), fait (44), bien (44), les (33), choses (66). Il y a donc 2+6+4+4+3+6=252+6+4+4+3+6=25 lettres.
  • La lettre e apparaît dans « le », « bien », « les » et « choses » : 44 fois.
  • La lettre a apparaît deux fois dans « hasard » et une fois dans « fait » : 33 fois.
D'où :
425=0,16\dfrac{4}{25}=0{,}16 pour la lettre e, et 325=0,12\dfrac{3}{25}=0{,}12 pour la lettre a
Question 3

On choisit au hasard une lettre de la phrase « le hasard fait bien les choses » (sans compter les espaces). On note XX la variable aléatoire qui vaut 11 si la lettre choisie est un e, et 00 sinon. Donner la loi de XX et son espérance.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i}\times p_{i}=x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}
Remarque : l'espérance sert à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois.
Les 2525 lettres ont la même probabilité d'être choisies, et 44 d'entre elles sont des e :
P(X=1)=425=0,16P\left(X=1\right)=\dfrac{4}{25}=0{,}16
P(X=0)=1−0,16=0,84P\left(X=0\right)=1-0{,}16=0{,}84

E(X)=0×0,84+1×0,16E\left(X\right)=0\times 0{,}84+1\times 0{,}16
D'où :
E(X)=0,16E\left(X\right)=0{,}16

L'espérance de XX est égale à la fréquence de la lettre e, renvoyée par la fonction.
Question 4

On écrit la fonction ci-dessous.
Que contient la liste renvoyée par toutes("le hasard fait bien les choses") ? Pourquoi la somme de ses éléments vaut-elle 11 ?

Correction
La liste est construite en compréhension : elle contient la fréquence de chacune des 2626 lettres de l'alphabet dans le texte, de a à z (avec 00 pour les lettres absentes).
Chaque lettre du texte est comptée une fois et une seule, dans la fréquence de la lettre qu'elle est. La somme des 2626 effectifs vaut donc le nombre total de lettres, 2525, et :
la somme des 2626 fréquences vaut 2525=1\dfrac{25}{25}=1

Ces 2626 fréquences forment la loi de probabilité de la lettre choisie au hasard dans le texte. Sur de longs textes, cette loi dépend de la langue : en français, la lettre e est de loin la plus fréquente.

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