Algorithmes en Python : espérance, variance et fréquences - Exercice 1

25 min

On considère le programme Python ci-dessous. La liste valeurs contient les valeurs

x_{1}

, …,

x_{n}

prises par une variable aléatoire

X

, et la liste probas les probabilités

p_{1}

, …,

p_{n}

correspondantes, dans le même ordre.

Question 1

Expliquer ce que calcule la fonction `esperance`.

Correction

En Python, une liste s'écrit entre crochets : [-2, 1, 4]. Ses éléments sont numérotés à partir de $0$ : si L = [-2, 1, 4], alors L[0] vaut $-2$ et len(L) vaut $3$ .
for i in range(n): fait prendre à i les valeurs $0$ , $1$ , …, $n-1$ .

La variable e part de

0

. À chaque passage dans la boucle, on lui ajoute le produit valeurs[i] * probas[i], c'est-à-dire

x_{i}\times p_{i}

.
À la fin de la boucle, e contient

x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}\times p_{n}

.
Ainsi :

la fonction esperance renvoie l'espérance

E\left(X\right)

Question 2

Que renvoie `esperance([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25])` ? Présenter les étapes dans un tableau de suivi.

Correction

On suit les valeurs des variables à chaque passage dans la boucle :

Ainsi :

l'appel renvoie 1.0, c'est-à-dire

E\left(X\right)=\left(-2\right)\times 0{,}25+1\times 0{,}5+4\times 0{,}25=1

Question 3

Que renvoient `variance([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25])` et `ecart_type([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25])` ?

Correction

La formule de l'écart type

\sigma

est obtenue après avoir calculé la variance

V

. Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :

$V\left(X\right)=\sum p_{i}\times\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}$
$\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

La fonction variance calcule d'abord

E\left(X\right)=1

, puis ajoute les termes

p_{i}\times\left(x_{i}-E\left(X\right)\right)^{2}

V\left(X\right)=0{,}25\times\left(-2-1\right)^{2}+0{,}5\times\left(1-1\right)^{2}+0{,}25\times\left(4-1\right)^{2}

V\left(X\right)=0{,}25\times 9+0+0{,}25\times 9

D'où :

V\left(X\right)=4{,}5

La fonction ecart_type renvoie la racine carrée de la variance :

\sigma\left(X\right)=\sqrt{4{,}5}

D'où :

\sigma\left(X\right)\approx 2{,}121

Ainsi, variance([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25]) renvoie 4.5 et ecart_type([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25]) renvoie 2.1213203435596424, soit environ

2{,}121

Question 4

Écrire une fonction `variance_kh(valeurs, probas)` qui calcule la variance avec la formule de König-Huygens, puis vérifier qu'elle donne le même résultat sur l'exemple.

Correction

Formule de König-Huygens :

$V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}$ où $E\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\times p_{i}=x_{1}^{2}\times p_{1}+x_{2}^{2}\times p_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\times p_{n}$ .

On calcule

E\left(X^{2}\right)

dans une boucle, puis on retranche le carré de l'espérance :

Sur l'exemple :

E\left(X^{2}\right)=\left(-2\right)^{2}\times 0{,}25+1^{2}\times 0{,}5+4^{2}\times 0{,}25=1+0{,}5+4=5{,}5

V\left(X\right)=5{,}5-1^{2}

D'où :

V\left(X\right)=4{,}5

On retrouve le même résultat.

Question 5

Avant tout calcul, on veut vérifier que la liste `probas` est bien une loi de probabilité. Écrire une fonction `loi_ok(probas)` qui renvoie `True` si les probabilités sont positives et de somme $1$ , et `False` sinon.

Correction

Donner la loi de probabilité de $X$ , c'est donner les valeurs $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ prises par $X$ et les probabilités $p_{i}=P\left(X=x_{i}\right)$ .
La somme des probabilités vaut $1$ : $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{n}=1$ .

On teste chaque probabilité, puis la somme :

Les nombres décimaux sont arrondis en machine : par exemple 0.1 + 0.2 donne 0.30000000000000004. C'est pourquoi on ne teste pas s == 1 mais un écart très petit entre s et

1

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Algorithmes en Python : espérance, variance et fréquences - Exercice 1

Expliquer ce que calcule la fonction esperance.

Que renvoie esperance([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25]) ? Présenter les étapes dans un tableau de suivi.

Que renvoient variance([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25]) et ecart_type([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25]) ?

Écrire une fonction variance_kh(valeurs, probas) qui calcule la variance avec la formule de König-Huygens, puis vérifier qu'elle donne le même résultat sur l'exemple.

Avant tout calcul, on veut vérifier que la liste probas est bien une loi de probabilité. Écrire une fonction loi_ok(probas) qui renvoie True si les probabilités sont positives et de somme 111, et False sinon.

Expliquer ce que calcule la fonction `esperance`.

Que renvoie `esperance([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25])` ? Présenter les étapes dans un tableau de suivi.

Que renvoient `variance([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25])` et `ecart_type([-2, 1, 4], [0.25, 0.5, 0.25])` ?

Écrire une fonction `variance_kh(valeurs, probas)` qui calcule la variance avec la formule de König-Huygens, puis vérifier qu'elle donne le même résultat sur l'exemple.

Avant tout calcul, on veut vérifier que la liste `probas` est bien une loi de probabilité. Écrire une fonction `loi_ok(probas)` qui renvoie `True` si les probabilités sont positives et de somme $1$ , et `False` sinon.