Il vient alors que : d(30)=0,2×302+4×30 d(30)=0,2×900+120 d(30)=180+120 d(30)=300 Au bout d'une demie-minute, le mobile aura parcourue 300 mètres.
2
Quelle est la vitesse moyenne pendant cette première demie-minute.
Correction
La vitesse moyenne entre deux instants t1 et t2 est donnée par la formule : Vm=t2−t1d(t2)−d(t1)
Nous cherchons la vitesse moyenne pendant la première demie-minute. Ici nous avons donc t1=0 et t2=30 . Il en résulte donc que : Vm=t2−t1d(t2)−d(t1) Vm=30−0d(30)−d(0) Or , d'après la question 1, on a : d(30)=300 et enfin d(0)=0,2×0+4×0=0 Il vient alors que : Vm=30−0300−0 Vm=10 m.s−1 .
3
Calculer au bout de combien de temps le mobile aura parcouru 160 mètres.
Correction
Il nous faut résoudre l'équation : d(t)=160 Il vient alors que : 0,2t2+4t=160 0,2t2+4t−160=0 Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=42−4×0,2×(−160) Δ=16+128=144 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées t1 et t2 telles que : t1=2a−b−Δ ainsi t1=2×0,2−4−144 d'où t1=−40 t2=2a−b+Δ ainsi t2=2×0,2−4+144 d'où t2=20 Nous ne pouvons pas retenir la valeur t1 car le temps ne peut pas être négatif. Le mobile met 20 secondes pour pouvoir parcourir 160 mètres.
4
Calculer la vitesse instantanée du mobile à la 9ème seconde .
Correction
Si d(t) est la distance parcourue au bout d’un temps t, alors le nombre deˊriveˊ est la vitesse instantaneˊe.
Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction d. Il en résulte donc que : d′(t)=0,2×2t+4 d′(t)=0,4t+4 Ainsi : d′(9)=0,4×9+4 d′(9)=3,6+4 d′(9)=7,6 m.s−1 La vitesse instantanée du mobile, à la 9ème seconde, est de 7,6 m.s−1 .
5
Quelle est la vitesse initiale du mobile.
Correction
Ici, il ne faut pas tomber dans le piège et vouloir calculer d(0) . Pour déterminer la vitesse initiale lorsque t=0, nous allons chercher la vitesse instantanée à l'instant t=0 .
Si d(t) est la distance parcourue au bout d’un temps t, alors le nombre deˊriveˊ est la vitesse instantaneˊe.
Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction d. Il en résulte donc que : d′(t)=0,4t+4 Ainsi : d′(0)=0,4×0+4 d′(0)=4 m.s−1 La vitesse instantanée initiale du mobile est de 4 m.s−1 .
Exercice 2
La Tour Eiffel mesure 324 mètres. Un visiteur (pas très écologique) jette une petite boule en plastique depuis le sommet de La Tour Eiffel. La distance parcourue par la petite boule en plastique est donnée par d(t)=4t2+t . d(t) est exprimée en mètres et t en secondes.
1
Calculer la vitesse instantanée de la petite boule en plastique au bout de 3 secondes.
Correction
Si d(t) est la distance parcourue au bout d’un temps t, alors le nombre deˊriveˊ est la vitesse instantaneˊe.
Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction d. Il en résulte donc que : d′(t)=4×2t+1 d′(t)=8t+1 Ainsi : d′(3)=8×3+1 d′(3)=24+1 d′(3)=25 m.s−1 La vitesse instantanée la petite boule en plastique au bout de 3 secondes est de 25 m.s−1 .
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