Vitesse moyenne, vitesse instantanée et coût marginal - Exercice 1

Une demie-minute correspond à $$t=30$$ secondes.
Il vient alors que :
$$d\left(30\right)=0,2 \times30^{2}+4\times 30$$
$$d\left(30\right)=0,2\times900+120$$
$$d\left(30\right)=180+120$$
$$d\left(30\right)=300$$
Au bout d'une demie-minute, le mobile aura parcourue $$300$$ mètres.

Nous cherchons la vitesse moyenne pendant la première demie-minute. Ici nous avons donc $$t_1=0$$ et $$t_2=30$$ .
Il en résulte donc que :
$$V_{m} =\frac{d\left(t_{2} \right)-d\left(t_{1} \right)}{t_{2} -t_{1} }$$
$$V_{m} =\frac{d\left(30 \right)-d\left(0 \right)}{30-0 }$$
Or , d'après la question $$1$$, on a : $$d\left(30\right)=300$$ et enfin $$d\left(0\right)=0,2\times 0+4\times 0=0$$
Il vient alors que :
$$V_{m} =\frac{300-0}{30-0 }$$
$$V_{m} =10$$ m.s$$^{-1}$$ .

Il nous faut résoudre l'équation : $$d\left(t\right)=160$$
Il vient alors que :
$$0,2t^{2}+4t=160$$
$$0,2t^{2}+4t-160=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =4^{2} -4\times 0,2\times \left(-160\right)$$
$$\Delta =16+128=144$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$t{}_{1}$$ et $$t{}_{2}$$ telles que :
$$t{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$t{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{144} }{2\times 0,2}$$ d'où $$t{}_{1} =-40$$
$$t{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$t{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{144} }{2\times 0,2}$$ d'où $$t{}_{2} =20$$
Nous ne pouvons pas retenir la valeur $$t{}_{1}$$ car le temps ne peut pas être négatif.
Le mobile met $$20$$ secondes pour pouvoir parcourir $$160$$ mètres.

Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction $$d$$.
Il en résulte donc que :
$$d'\left(t\right)=0,2\times 2t+4$$
$$d'\left(t\right)=0,4t+4$$
Ainsi :
$$d'\left(9\right)=0,4\times 9+4$$
$$d'\left(9\right)=3,6+4$$
$$d'\left(9\right)=7,6$$ m.s$$^{-1}$$
La vitesse instantanée du mobile, à la $$9$$^ème seconde, est de $$7,6$$ m.s$$^{-1}$$ .

Ici, il ne faut pas tomber dans le piège et vouloir calculer $$d\left(0\right)$$ .
Pour déterminer la vitesse initiale lorsque $$t=0$$, nous allons chercher la vitesse instantanée à l'instant $$t=0$$ .
Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction $$d$$.
Il en résulte donc que :
$$d'\left(t\right)=0,4t+4$$
Ainsi :
$$d'\left(0\right)=0,4\times 0+4$$
$$d'\left(0\right)=4$$ m.s$$^{-1}$$
La vitesse instantanée initiale du mobile est de $$4$$ m.s$$^{-1}$$ .