Vitesse moyenne, vitesse instantanée et coût marginal

Une demie-minute correspond à $t=30$ secondes.
Il vient alors que :
$d\left(30\right)=0,2 \times30^{2}+4\times 30$
$d\left(30\right)=0,2\times900+120$
$d\left(30\right)=180+120$
$d\left(30\right)=300$
Au bout d'une demie-minute, le mobile aura parcourue $300$ mètres.

Nous cherchons la vitesse moyenne pendant la première demie-minute. Ici nous avons donc $t_1=0$ et $t_2=30$ .
Il en résulte donc que :
$V_{m} =\frac{d\left(t_{2} \right)-d\left(t_{1} \right)}{t_{2} -t_{1} }$
$V_{m} =\frac{d\left(30 \right)-d\left(0 \right)}{30-0 }$
Or , d'après la question $1$, on a : $d\left(30\right)=300$ et enfin $d\left(0\right)=0,2\times 0+4\times 0=0$
Il vient alors que :
$V_{m} =\frac{300-0}{30-0 }$
$V_{m} =10$ m.s$^{-1}$ .

Il nous faut résoudre l'équation : $d\left(t\right)=160$
Il vient alors que :
$0,2t^{2}+4t=160$
$0,2t^{2}+4t-160=0$
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =4^{2} -4\times 0,2\times \left(-160\right)$
$\Delta =16+128=144$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $t{}_{1}$ et $t{}_{2}$ telles que :
$t{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $t{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{144} }{2\times 0,2}$ d'où $t{}_{1} =-40$
$t{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $t{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{144} }{2\times 0,2}$ d'où $t{}_{2} =20$
Nous ne pouvons pas retenir la valeur $t{}_{1}$ car le temps ne peut pas être négatif.
Le mobile met $20$ secondes pour pouvoir parcourir $160$ mètres.

Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction $d$.
Il en résulte donc que :
$d'\left(t\right)=0,2\times 2t+4$
$d'\left(t\right)=0,4t+4$
Ainsi :
$d'\left(9\right)=0,4\times 9+4$
$d'\left(9\right)=3,6+4$
$d'\left(9\right)=7,6$ m.s$^{-1}$
La vitesse instantanée du mobile, à la $9$^ème seconde, est de $7,6$ m.s$^{-1}$ .

Ici, il ne faut pas tomber dans le piège et vouloir calculer $d\left(0\right)$ .
Pour déterminer la vitesse initiale lorsque $t=0$, nous allons chercher la vitesse instantanée à l'instant $t=0$ .
Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction $d$.
Il en résulte donc que :
$d'\left(t\right)=0,4t+4$
Ainsi :
$d'\left(0\right)=0,4\times 0+4$
$d'\left(0\right)=4$ m.s$^{-1}$
La vitesse instantanée initiale du mobile est de $4$ m.s$^{-1}$ .

Nous allons donc calculer la dérivée de la fonction $d$.
Il en résulte donc que :
$d'\left(t\right)=4\times 2t+1$
$d'\left(t\right)=8t+1$
Ainsi :
$d'\left(3\right)=8\times 3+1$
$d'\left(3\right)=24+1$
$d'\left(3\right)=25$ m.s$^{-1}$
La vitesse instantanée la petite boule en plastique au bout de $3$ secondes est de $25$ m.s$^{-1}$ .