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Valeur absolue et dérivée - Exercice 4

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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−6×∣4x+5∣f\left(x\right)=-6\times \left|4x+5\right| .

Exprimer f(x)f\left(x\right) sans les symboles de la valeur absolue .

Correction

Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix≤0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x\le 0} \end{array}\right. .
Pour déterminer l'expression de f(x)f\left(x\right) sans les symboles de la valeur absolue, nous allons commencer par donner le tableau de signe de 4x−54x-5 . On ne s'intéresse ici qu'à l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
4x+5≥0⇔4x≥−5⇔x≥−544x+5\ge 0\Leftrightarrow 4x\ge -5\Leftrightarrow x\ge -\frac{5}{4}
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 4x+54x+5 lorsque xx sera supérieur ou égale à −54-\frac{5}{4}.
Ainsi, d'après le rappel :
∣4x+5∣={−(4x+5)six≤−544x+5six≥−54\left|4x+5\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-\left(4x+5\right)} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {4x+5} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.
∣4x+5∣={−4x−5six≤−544x+5six≥−54\left|4x+5\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-4x-5} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {4x+5} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.
Finalement :
f(x)={−6×(−4x−5)six≤−54−6×(4x+5)six≥−54f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-6\times\left(-4x-5\right)} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {-6\times\left(4x+5\right)} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.
D'où :
f(x)={24x+30six≤−54−24x−30six≥−54f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {24x+30} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {-24x-30} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.
Question 2

Déterminer f′(x)f'\left(x\right) pour x≠−54x \ne -\frac{5}{4} .

Correction
D'après la question précédente, nous savons que :
f(x)={24x+30six≤−54−24x−30six≥−54f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {24x+30} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {-24x-30} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.
Nous allons maintenant pouvoir déterminer la dérivée de ff . Il vient alors que :
f′(x)={24six≤−54−24six≥−54f'\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {24} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {-24} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.