Valeur absolue et dérivée - Exercice 4

Pour déterminer l'expression de $$f\left(x\right)$$ sans les symboles de la valeur absolue, nous allons commencer par donner le tableau de signe de $$4x-5$$ . On ne s'intéresse ici qu'à l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
$$4x+5\ge 0\Leftrightarrow 4x\ge -5\Leftrightarrow x\ge -\frac{5}{4}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$4x+5$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-\frac{5}{4}$$.
Ainsi, d'après le rappel :
$$\left|4x+5\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-\left(4x+5\right)} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {4x+5} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.$$
$$\left|4x+5\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-4x-5} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {4x+5} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.$$
Finalement :
$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-6\times\left(-4x-5\right)} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {-6\times\left(4x+5\right)} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.$$
D'où :

D'après la question précédente, nous savons que :
$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {24x+30} & {\text{si}} & {x\le -\frac{5}{4}} \\ {-24x-30} & {\text{si}} & {x\ge -\frac{5}{4}} \end{array}\right.$$
Nous allons maintenant pouvoir déterminer la dérivée de $$f$$ . Il vient alors que :