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Dérivation

Valeur absolue et dérivée - Exercice 3

1 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−3×∣5x−50∣f\left(x\right)=-3\times \left|5x-50\right| .

Exprimer f(x)f\left(x\right) sans les symboles de la valeur absolue .

Correction

Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix≤0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x\le 0} \end{array}\right. .
Pour déterminer l'expression de f(x)f\left(x\right) sans les symboles de la valeur absolue, nous allons commencer par donner le tableau de signe de 5x−505x-50 . On ne s'intéresse ici qu'à l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
5x−50≥0⇔5x≥50⇔x≥505⇔x≥105x-50\ge 0\Leftrightarrow 5x\ge 50\Leftrightarrow x\ge \frac{50}{5} \Leftrightarrow x\ge 10
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 5x−505x-50 lorsque xx sera supérieur ou égale à 1010.
Ainsi, d'après le rappel :
∣5x−50∣={−(5x−50)six≤105x−50six≥10\left|5x-50\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-\left(5x-50\right)} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {5x-50} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.
∣5x−50∣={−5x+50six≤105x−50six≥10\left|5x-50\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-5x+50} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {5x-50} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.
Finalement :
f(x)={−3×(−5x+50)six≤10−3×(5x−50)six≥10f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-3\times\left(-5x+50\right)} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {-3\times\left(5x-50\right)} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.
D'où :
f(x)={15x−150six≤10−15x+150six≥10f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {15x-150} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {-15x+150} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.
Question 2

Déterminer f′(x)f'\left(x\right) pour x≠10x \ne 10 .

Correction
D'après la question précédente, nous savons que :
f(x)={15x−150six≤10−15x+150six≥10f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {15x-150} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {-15x+150} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.
Nous allons maintenant pouvoir déterminer la dérivée de ff . Il vient alors que :
f′(x)={15six≤10−15six≥10f'\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {15} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {-15} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.