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Valeur absolue et dérivée - Exercice 2

5 min

Question 1

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f\left(x\right)=\left|-3x+18\right|

Exprimer $f\left(x\right)$ sans les symboles de la valeur absolue .

Correction

Soit un nombre réel

x

On appelle ${\color{red}\text{valeur absolue }}$ de $x$ , et on note $\left|x\right|$ , le nombre réel égal à : $\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x\le 0} \end{array}\right.$ .

Pour déterminer l'expression de

f\left(x\right)

sans les symboles de la valeur absolue, nous allons commencer par donner le tableau de signe de

-3x+18

-3x+18\ge 0\Leftrightarrow -3x\ge -18\Leftrightarrow x\le \frac{-18}{-3} \Leftrightarrow x\le 6

Cela signifie que l'on va mettre le signe

+

dans la ligne de

-3x+18

lorsque

x

sera inférieur ou égale à

6

Ainsi, d'après le rappel :

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-3x+18} & {\text{si}} & {x\le 6} \\ {-\left(-3x+18\right)} & {\text{si}} & {x\ge 6} \end{array}\right.

Finalement :

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-3x+18} & {\text{si}} & {x\le 6} \\ {3x-18} & {\text{si}} & {x\ge 6} \end{array}\right.

Question 2

Correction

D'après la question précédente, nous savons que :

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-3x+18} & {\text{si}} & {x\le 6} \\ {3x-18} & {\text{si}} & {x\ge 6} \end{array}\right.

Nous allons maintenant pouvoir déterminer la dérivée de

f

. Il vient alors que :

f'\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-3} & {\text{si}} & {x\le 6} \\ {3} & {\text{si}} & {x\ge 6} \end{array}\right.