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Dérivation

Valeur absolue et dérivée - Exercice 1

5 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x6f\left(x\right)=\left|2x-6\right| .

Exprimer f(x)f\left(x\right) sans les symboles de la valeur absolue .

Correction

Soit un nombre réel xx.
  • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note x\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix0xsix0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x\le 0} \end{array}\right. .
Pour déterminer l'expression de f(x)f\left(x\right) sans les symboles de la valeur absolue, nous allons commencer par donner le tableau de signe de 2x62x-6 .
2x602x6x62x32x-6\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge 6\Leftrightarrow x\ge \frac{6}{2} \Leftrightarrow x\ge 3
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 2x62x-6 lorsque xx sera supérieur ou égale à 33.
Ainsi, d'après le rappel :
f(x)={(2x6)six32x6six3f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-\left(2x-6\right)} & {\text{si}} & {x\le 3} \\ {2x-6} & {\text{si}} & {x\ge 3} \end{array}\right.
Finalement :
f(x)={2x+6six32x6six3f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-2x+6} & {\text{si}} & {x\le 3} \\ {2x-6} & {\text{si}} & {x\ge 3} \end{array}\right.

Question 2

Déterminer f(x)f'\left(x\right) pour x3x \ne 3 .

Correction
D'après la question précédente, nous savons que :
f(x)={2x+6six32x6six3f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-2x+6} & {\text{si}} & {x\le 3} \\ {2x-6} & {\text{si}} & {x\ge 3} \end{array}\right.
Nous allons maintenant pouvoir déterminer la dérivée de ff . Il vient alors que :
f(x)={2six32six3f'\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-2} & {\text{si}} & {x\le 3} \\ {2} & {\text{si}} & {x\ge 3} \end{array}\right.