Savoir préciser le domaine de dérivabilité d'une fonction - Exercice 2

$$f$$ est une fonction irrationnelle que l'on appelle également fonction racine carrée.
Par définition, les fonctions racines carrées sont dérivables pour toutes les valeurs où le radical est $$\text{\red{{strictement positif}}}$$.
On appelle radical la fonction qui est sous la racine carrée. Dans notre cas, le radical est ici $$-3x+21$$ .
Il en résulte donc que $$f$$ est dérivable si et seulement si :
$$-3x+21>0$$
$$-3x>-21$$
$$x<\frac{-21}{-3}$$
$$x<7$$
Il vient alors que la fonction $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;7 \right[$$ .

$$m$$ est une fonction rationnelle (c'est sous forme d'un quotient avec du $$x$$ au dénominateur).
Les fonctions rationnelles sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Cherchons donc à savoir la ou les valeur(s) qui annulent le dénominateur $$x^2+1$$.
Or la fonction carré est positive ; pour tout $$x\;\in\;\mathbb{R}.$$
$$x^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge1$$
On peut donc conclure qu'aucune valeur n'annule le dénominateur.
Il en résulte donc que $$m$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}.$$

$$n$$ est une fonction rationnelle (c'est sous forme d'un quotient avec du $$x$$ au dénominateur).
Les fonctions rationnelles sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Cherchons donc à savoir les valeur qui annulent le dénominateur $$-2x+12$$.
$$-2x+12=0$$
$$-2x=-12$$
$$x=\frac{-12}{-2}$$
$$x=6$$
Autrement dit $$x=6$$ est une valeur où $$n$$ n'est pas dérivable.
Il en résulte donc que $$n$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{6\right\}$$

$$r(x)$$ est le produit de deux fonctions avec $$u(x)=2x$$ $$\;$$et$$\;$$ $$v(x)=\sqrt{x}.$$
$$u(x)$$ est une fonction polynôme du $$1$$^er degré, et plus précisément une fonction linéaire.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur $$\mathbb{R}$$ .
Il en résulte donc, que la fonction $$u(x)$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
$$v(x)$$ est une fonction irrationnelle que l'on appelle également fonction racine carrée.
Par définition, la fonction racine carrée est dérivable sur $$\left]0 ;+\infty\right[$$ .
Il vient alors que la fonction $$v(x)$$ est dérivable sur $$\left]0 ;+\infty\right[$$ .
On peut donc conclure que la fonction est dérivable sur $$\left]0 ;+\infty\right[$$