Dérivation

Savoir préciser le domaine de dérivabilité d'une fonction - Exercice 1

20 min
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Question 1
Préciser le domaine de définition de chaque fonction .

f(x)=2x6f\left(x\right)=2x-6

Correction
ff est une fonction polynôme du 11er degré, et plus précisément une fonction affine.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur R\mathbb{R} .
Il en résulte donc, que la fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
Question 2

g(x)=x35x2+2x1g\left(x\right)=x^{3} -5x^{2} +2x-1

Correction
gg est une fonction polynôme du 33ème degré.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur R\mathbb{R} .
Il en résulte donc, que la fonction gg est dérivable sur R\mathbb{R} .
Question 3

h(x)=2x1h\left(x\right)=\sqrt{2x-1}

Correction
hh est une fonction irrationnelle que l'on appelle également fonction racine carrée.
Par définition, les fonctions racines carrées sont dérivables pour toutes les valeurs où le radical est strictement positif\text{\red{{strictement positif}}}.
On appelle radical la fonction qui est sous la racine carrée. Dans notre cas, le radical est ici 2x12x-1 .
Il en résulte donc que hh est dérivable si et seulement si :
2x1>02x>1x>122x-1>0\Leftrightarrow 2x>1\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}
Il vient alors que la fonction hh est dérivable sur ]12;+[\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[ .
Question 4

f(x)=3xf\left(x\right)=\frac{3}{x}

Correction
ff est une fonction inverse. Les fonctions inverses sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Nous avons donc le dénominateur qui s'annule pour x=0x=0 .
Il en résulte donc que ff est dérivable sur R\mathbb{R}^{*}
Question 5

k(x)=52x8k\left(x\right)=\frac{5}{2x-8}

Correction
kk est une fonction rationnelle (c'est sous forme d'un quotient avec du xx au dénominateur).
Les fonctions rationnelles sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Cherchons donc à savoir les valeur qui annulent le dénominateur 2x82x-8.
2x8=02x=8x=82x=42x-8=0\Leftrightarrow 2x=8\Leftrightarrow x=\frac{8}{2} \Leftrightarrow x=4
Il en résulte donc que kk est dérivable sur R{4}\mathbb{R}-\left\{4\right\}
Question 6

f(x)=3x+21f\left(x\right)=\sqrt{-3x+21}

Correction
ff est une fonction irrationnelle que l'on appelle également fonction racine carrée.
Par définition, les fonctions racines carrées sont dérivables pour toutes les valeurs où le radical est strictement positif\text{\red{{strictement positif}}}.
On appelle radical la fonction qui est sous la racine carrée. Dans notre cas, le radical est ici 3x+21-3x+21 .
Il en résulte donc que ff est dérivable si et seulement si :
3x+21>03x>21x<213x<7-3x+21>0\Leftrightarrow -3x>-21 \Leftrightarrow x<\frac{-21}{-3}\Leftrightarrow x<7
Il vient alors que la fonction ff est dérivable sur ];7[\left]-\infty ;7 \right[ .
Question 7

m(x)=2x6x2+1m\left(x\right)=\frac{2x-6}{x^{2}+1}

Correction
mm est une fonction rationnelle (c'est sous forme d'un quotient avec du xx au dénominateur).
Les fonctions rationnelles sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Cherchons donc à savoir la ou les valeur(s) qui annulent le dénominateur x2+1x^2+1.
Or la fonction carré est positive ; pour tout x    R.x\;\in\;\mathbb{R}.
x2>0x2+1>1x^2>0\Leftrightarrow x^2+1>1
On peut donc conclure qu'aucune valeur n'annule le dénominateur.
Il en résulte donc que mm est dérivable sur R.\mathbb{R}.
Question 8

n(x)=x72x+12n\left(x\right)=\frac{x-7}{-2x+12}

Correction
nn est une fonction rationnelle (c'est sous forme d'un quotient avec du xx au dénominateur).
Les fonctions rationnelles sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Cherchons donc à savoir les valeur qui annulent le dénominateur 2x+12-2x+12.
2x+12=02x=12x=122x=6-2x+12=0\Leftrightarrow -2x=-12\Leftrightarrow x=\frac{-12}{-2} \Leftrightarrow x=6
Il en résulte donc que nn est dérivable sur R{6}\mathbb{R}-\left\{6\right\}
Question 9

r(x)=2xxr\left(x\right)=2x\sqrt{x}

Correction
r(x)r(x) est le produit de deux fonctions avec u(x)=2xu(x)=2x   \;et  \; v(x)=x.v(x)=\sqrt{x}.
u(x)u(x) est une fonction polynôme du 11er degré, et plus précisément une fonction linéaire.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur R\mathbb{R} .
Il en résulte donc, que la fonction u(x)u(x) est dérivable sur R\mathbb{R} .
v(x)v(x) est une fonction irrationnelle que l'on appelle également fonction racine carrée.
Par définition, la fonction racine carrée est dérivable sur ]0;+[\left]0 ;+\infty\right[ .
Il vient alors que la fonction v(x)v(x) est dérivable sur ]0;+[\left]0 ;+\infty\right[ .
On  peut  donc  conclure  que  la  fonction  r(x)  est  deˊrivable  sur  ]0;+[\color{blue}On\;peut\;donc\;conclure\;que\;la\;fonction\;r(x)\;est\;dérivable\;sur\;\left]0 ;+\infty\right[.