Pour étudier la position relative de la courbe
Cf et de la tangente
T, il nous faut alors étudier le signe de
f(x)−(−3x−2).
D'après la question
3, cela revient à étudier le signe de
x+24x2+8x+4.
x+2≥0⇔x≥−2.
Maintenant , pour étudier le signe de
4x2+8x+4, nous allons étudier le discriminant.
Δ=b2−4ac ainsi :
Δ=0Comme
Δ=0 alors l'équation admet une racine double réelle notée
x0 telle que :
x0=2a−b ainsi
x0=2×4−8 d'où
x0=−1- Comme a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0.
Nous allons maintenant donner ci-dessous le tableau de signe de
f(x)−(−3x−2).
La position relative entre deux courbes étudie les intervalles sur lesquelles une des courbes est supérieure à l'autre.
Pour étudier la position relative entre
Cf et
T, il faut étudier le signe de
f(x)−y.
- Si f(x)>y sur un intervalle [a;b] alors la courbe représentative de Cf est au-dessus de T sur [a;b].
- Si f(x)<y sur un intervalle [a;b] alors la courbe représentative de Cf est en dessous de T sur [a;b].
- Si f(x)=y en un point α de l'intervalle [a;b] alors la courbe représentative de Cf et T ont un point en commun en α.
Interprétation géométrique :- Si x∈]−∞;−2[ alors f(x)−y<0 soit f(x)<y. Il en résulte que la courbe Cf est en dessous de la tangente T.
- Si x∈]−2;−1[∪]−1;+∞[ alors f(x)−y>0 soit f(x)>y. Il en résulte que la courbe Cf est au-dessus de la tangente T.
- Si x=−1 alors f(x)−y=0 soit f(x)=y alors la courbe Cf et la tangente T sont sécantes.