🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Dérivation

Position relative entre une courbe et sa tangente - Exercice 2

20 min
40
Question 1
On considère la fonction ff définie et dérivable sur ];2[]2;+[\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]-2;+\infty \right[ par f(x)=x2x+2f\left(x\right)=\frac{x^{2} }{x+2}.
On note CfC_{f} sa courbe représentative.

Calculer la dérivée de ff notée ff'.

Correction
ff est dérivable sur ];2[]2;+[\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]-2;+\infty \right[.
On reconnaît la forme (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=x+2v\left(x\right)=x+2
Ainsi : u(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
f(x)=2x×(x+2)x2×1(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{2x\times \left(x+2\right)-x^{2} \times 1}{\left(x+2\right)^{2} }
f(x)=2x2+4xx2(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{2x^{2} +4x-x^{2} }{\left(x+2\right)^{2} }
f(x)=x2+4x(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{x^{2} +4x}{\left(x+2\right)^{2} }

Question 2

Déterminer l'équation réduite de la tangente TT à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 1-1.

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=-1, ce qui donne, y=f(1)(x(1))+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right), soit y=f(1)(x+1)+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
On connaît la dérivée de ff qui est f(x)=x2+4x(x+2)2f'\left(x\right)=\frac{x^{2} +4x}{\left(x+2\right)^{2} }
  • Calculons f(1)f\left(-1\right) :
  • f(1)=(1)21+2f\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)^{2} }{-1+2}
    f(1)=1f\left(-1\right)=1
  • Calculons f(1)f'\left(-1\right) :
  • f(1)=(1)2+4×(1)(1+2)2f'\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)^{2} +4\times \left(-1\right)}{\left(-1+2\right)^{2} }
    f(1)=141f'\left(-1\right)=\frac{1-4}{1}
    f(1)=3f'\left(-1\right)=-3

    On remplace les valeurs de f(1)f\left(-1\right) et de f(1)f'\left(-1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
    On sait que :
    y=f(1)(x+1)+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
    y=3×(x+1)+1y=-3\times \left(x+1\right)+1
    y=3x3+1y=-3x-3+1
    Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 1-1 est alors
    y=3x2y=-3x-2
    Question 3

    Montrer que f(x)(3x2)=4x2+8x+4x+2f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{4x^{2} +8x+4}{x+2} pour tout réel xx différent de 2-2.

    Correction
    f(x)(3x2)=x2x+2(3x2)f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} }{x+2} -\left(-3x-2\right) équivaut successivement à :
    f(x)(3x2)=x2x+2+3x+2f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} }{x+2} +3x+2
    f(x)(3x2)=x2x+2+(3x+2)(x+2)x+2f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} }{x+2} +\frac{\left(3x+2\right)\left(x+2\right)}{x+2}
    f(x)(3x2)=x2+(3x+2)(x+2)x+2f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} +\left(3x+2\right)\left(x+2\right)}{x+2}
    f(x)(3x2)=x2+3x2+6x+2x+4x+2f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} +3x^{2} +6x+2x+4}{x+2}
    f(x)(3x2)=4x2+8x+4x+2f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{4x^{2} +8x+4}{x+2}

    Question 4

    En déduire la position relative de la courbe CfC_{f} et de la tangente TT sur ];2[]2;+[\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]-2;+\infty \right[, en justifiant.

    Correction
    Pour étudier la position relative de la courbe CfC_{f} et de la tangente TT, il nous faut alors étudier le signe de f(x)(3x2)f\left(x\right)-\left(-3x-2\right).
    D'après la question 33, cela revient à étudier le signe de 4x2+8x+4x+2\frac{4x^{2} +8x+4}{x+2}.
    x+20x2x+2\ge 0\Leftrightarrow x\ge -2.
    Maintenant , pour étudier le signe de 4x2+8x+44x^{2} +8x+4, nous allons étudier le discriminant.
    Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac ainsi : Δ=0\Delta =0
    Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
    x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=82×4x{}_{0} =\frac{-8}{2\times 4} d'où x0=1x{}_{0} =-1
    • Comme a>0a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0x{}_{0} .
    Nous allons maintenant donner ci-dessous le tableau de signe de f(x)(3x2)f\left(x\right)-\left(-3x-2\right).
    La position relative entre deux courbes étudie les intervalles sur lesquelles une des courbes est supérieure à l'autre.
    Pour étudier la position relative entre CfC_{f} et TT, il faut étudier le signe de f(x)yf\left(x\right)-y.
    • Si f(x)>yf\left(x\right)>y sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} est au-dessus de TT sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f(x)<yf\left(x\right)<y sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} est en dessous de TT sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f(x)=yf\left(x\right)=y en un point α\alpha de l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} et TT ont un point en commun en α\alpha .
    Interprétation géométrique :
    • Si x];2[x\in \left]-\infty ;-2\right[ alors f(x)y<0f\left(x\right)-y<0 soit f(x)<yf\left(x\right)<y. Il en résulte que la courbe CfC_{f} est en dessous de la tangente TT.
    • Si x]2;1[]1;+[x\in \left]-2;-1\right[\cup\left]-1;+\infty\right[ alors f(x)y>0f\left(x\right)-y>0 soit f(x)>yf\left(x\right)>y. Il en résulte que la courbe CfC_{f} est au-dessus de la tangente TT.
    • Si x=1x=-1 alors f(x)y=0f\left(x\right)-y=0 soit f(x)=yf\left(x\right)=y alors la courbe CfC_{f} et la tangente TT sont sécantes.