Dérivation

Position relative entre une courbe et sa tangente - Exercice 1

15 min
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Question 1
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2−4x+2f\left(x\right)=2x^{2} -4x+2 et on note CfC_{f} sa courbe représentative.

Calculer f′(x)f'\left(x\right).

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
f′(x)=2×2x−4f'\left(x\right)=2\times 2x-4
f′(x)=4x−4f'\left(x\right)=4x-4
Question 2

Déterminer l'équation réduite de la tangente TT à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse −1-1.

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=−1a=-1, ce qui donne, y=f′(−1)(x−(−1))+f(−1)y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right), soit y=f′(−1)(x+1)+f(−1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
On connaît la dérivée de ff qui est f′(x)=4x−4f'\left(x\right)=4x-4
  • Calculons f(−1)f\left(-1\right) :
    • f(−1)=2×(−1)2−4×(−1)+2f\left(-1\right)=2\times \left(-1\right)^{2} -4\times \left(-1\right)+2
    f(−1)=8f\left(-1\right)=8
  • Calculons f′(−1)f'\left(-1\right) :
    • f′(−1)=4×(−1)−4f'\left(-1\right)=4\times \left(-1\right)-4
    f′(−1)=−4−4f'\left(-1\right)=-4-4
    f′(−1)=−8f'\left(-1\right)=-8

    On remplace les valeurs de f(−1)f\left(-1\right) et de f′(−1)f'\left(-1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
    On sait que :
    y=f′(−1)(x+1)+f(−1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
    y=−8×(x+1)+8y=-8\times \left(x+1\right)+8
    y=−8x−8+8y=-8x-8+8
    y=−8xy=-8x
    Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse −1-1 est alors
    y=−8xy=-8x
    Question 3

    Etudier la position relative de la courbe CfC_{f} et de la tangente TT.

    Correction
    La position relative entre deux courbes étudie les intervalles sur lesquelles une des courbes est supérieure à l'autre.
    Pour étudier la position relative entre CfC_{f} et TT, il faut étudier le signe de f(x)−yf\left(x\right)-y.
    • Si f(x)>yf\left(x\right)>y sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} est au-dessus de TT sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f(x)<yf\left(x\right)<y sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} est en dessous de TT sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f(x)=yf\left(x\right)=y en un point α\alpha de l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors la courbe représentative de CfC_{f} et TT ont un point en commun en α\alpha .
    Il vient alors que :
    f(x)−y=2x2−4x+2−(−8x)f\left(x\right)-y=2x^{2} -4x+2-\left(-8x\right)
    f(x)−y=2x2−4x+2+8xf\left(x\right)-y=2x^{2} -4x+2+8x
    f(x)−y=2x2+4x+2f\left(x\right)-y=2x^{2} +4x+2
    Pour l'étude du signe de 2x2+4x+22x^{2} +4x+2, on va utiliser le discriminant.
    Alors a=2a=2; b=4b=4 et c=2c=2.
    Or Δ=b2−4ac\Delta =b^{2} -4ac donc Δ=0\Delta =0.
    Il existe donc une racine réelle notée x0x_{0} .
    x0=−b2ax_{0} =\frac{-b}{2a} ce qui donne x0=−1x_{0} =-1.
    Comme a=2>0a=2>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f(x)−yf\left(x\right)-y est du signe de aa sur tout l'intervalle et s'annule en aa.
    On en déduit le tableau de signe suivant :
    Interpreˊtation geˊomeˊtrique :\red{\text{Interprétation géométrique :}}
    • Si x∈]−∞;−1[∪]−1;+∞[x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[ alors f(x)−y>0f\left(x\right)-y>0 soit f(x)>yf\left(x\right)>y.
      • Il en résulte que la courbe CfC_{f} est au-dessus de la tangente TT.
    • Si x=−1x=-1 alors f(x)−y=0f\left(x\right)-y=0 soit f(x)=yf\left(x\right)=y alors la courbe CfC_{f} et la tangente TT sont sécantes.