Position relative entre une courbe et sa tangente - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=2\times 2x-4$$

Ici $$a=-1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)$$, soit $$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$
On connaît la dérivée de $$f$$ qui est $$f'\left(x\right)=4x-4$$

Calculons $$f\left(-1\right)$$ :

$$f\left(-1\right)=2\times \left(-1\right)^{2} -4\times \left(-1\right)+2$$

Calculons $$f'\left(-1\right)$$ :

$$f'\left(-1\right)=4\times \left(-1\right)-4$$
$$f'\left(-1\right)=-4-4$$

On remplace les valeurs de $$f\left(-1\right)$$ et de $$f'\left(-1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$
$$y=-8\times \left(x+1\right)+8$$
$$y=-8x-8+8$$
$$y=-8x$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$-1$$ est alors

Il vient alors que :
$$f\left(x\right)-y=2x^{2} -4x+2-\left(-8x\right)$$
$$f\left(x\right)-y=2x^{2} -4x+2+8x$$
$$f\left(x\right)-y=2x^{2} +4x+2$$
Pour l'étude du signe de $$2x^{2} +4x+2$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=2$$; $$b=4$$ et $$c=2$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =0$$.
Il existe donc une racine réelle notée $$x_{0}$$.
$$x_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ce qui donne $$x_{0} =-1$$.
Comme $$a=2>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f\left(x\right)-y$$ est du signe de $$a$$ sur tout l'intervalle et s'annule en $$a$$.
On en déduit le tableau de signe suivant :
$$\red{\text{Interprétation géométrique :}}$$

• Si $$x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$$ alors $$f\left(x\right)-y>0$$ soit $$f\left(x\right)>y$$.
Il en résulte que la courbe $$C_{f}$$ est au-dessus de la tangente $$T$$.

• Si $$x=-1$$ alors $$f\left(x\right)-y=0$$ soit $$f\left(x\right)=y$$ alors la courbe $$C_{f}$$ et la tangente $$T$$ sont sécantes.